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13.2: Inradio del triángulo h - Matemáticas


Teorema ( PageIndex {1} )

El radio interno de cualquier triángulo h es menor que ( dfrac {1} {2} cdot ln3 ).

Prueba

Sea (I ) y (r ) el h-incentro y h-inradio de ( triangle_hXYZ ).

Tenga en cuenta que los ángulos h (XIY ), (YIZ ) y (ZIX ) tienen el mismo signo. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que todos ellos son positivos y por tanto

( ángulo de medida_hXIY + ángulo de medida_hYIZ + ángulo de medida_hZIX = 2 cdot pi )

Podemos suponer que ( measuredangle_hXIY ge dfrac {2} {3} cdot pi ); si no, vuelva a etiquetar (X ), (Y ) y (Z ).

Dado que (r ) es la distancia h desde (I ) a ((XY) _h ), la Proposición 13.1.1 implica que

( begin {array} {rcl} {r} & <& { dfrac {1} {2} cdot ln dfrac {1 + cos dfrac { pi} {3}} {1 - cos dfrac { pi} {3}}} {} & = & { dfrac {1} {2} cdot ln dfrac {1 + dfrac {1} {2}} {1 - dfrac {1} {2}}} {} & = & { dfrac {1} {2} cdot ln 3.} end {matriz} )

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Sea ( square_h ABCD ) un cuadrilátero en el plano h tal que los ángulos h en (A ), (B ) y (C ) son rectos y (AB_h = BC_h ). Encuentre el límite superior óptimo para (AB_h ).

Insinuación

Tenga en cuenta que el ángulo de prarllelismo de (B ) a ((CD) _h ) es mayor que ( dfrac { pi} {4} ), y converge a ( dfrac { pi} {4} ) como (CD_h to infty ).

Aplicando la Proposición 13.1.1, obtenemos que

(BC_h < dfrac {1} {2} cdot ln dfrac {1 + dfrac {1} { sqrt {2}}} {1 - dfrac {1} { sqrt {2}}} = ln (1 + sqrt {2}). )

El lado derecho es el límite de (BC_h ) if (CD_h to infty ). Por lo tanto, ( ln (1 + sqrt {2}) ) es el límite superior óptimo.


2 13 14 triángulo

Ángulo & ángulo A = α = 7.36 1 11606635 ° = 7 ° 21'40 & Prime = 0.12 8 84764903 rad
Ángulo & ángulo B = β = 56.38 8 76254015 ° = 56 ° 23'15 & Prime = 0.98 4 41497206 rad
Ángulo & ángulo C = γ = 116.25 1 1213935 ° = 116 ° 15'4 & Prime = 2.02 9 89664426 rad

Altura: ha = 11.65 9 92238164
Altura: hB = 1.79 4 3726741
Altura: hC = 1.66 6 56034023

Mediana: metroa = 13.47 2 21935853
Mediana: metroB = 7.59 9 93420768
Mediana: metroC = 6.12 4 3724357

Inradius: r = 0,80 4 40844011
Circumradio: R = 7,80 5 49792536

Coordenadas del vértice: A [14 0] B [0 0] C [1,10 7 71428571 1,66 6 56034023]
Centroide: CG [5,03 6 57142857 0,55 5 52011341]
Coordenadas del círculo circunscrito: U [7 -3,45 2 22023622]
Coordenadas del círculo inscrito: Yo [1,5 0,80 4 40844011]

Ángulos exteriores (o externos, externos) del triángulo:
& ángulo A '= α' = 172,63 9 8839336 ° = 172 ° 38'20 & Prime = 0,12 8 84764903 rad
& ángulo B '= β' = 123,61 2 2374598 ° = 123 ° 36'45 & Prime = 0,98 4 41497206 rad
& ángulo C '= γ' = 63.74 9 8786065 ° = 63 ° 44'56 & Prime = 2.02 9 89664426 rad


¿Cómo calculamos este triángulo?

El cálculo del triángulo avanza en dos fases. La primera fase es intentar calcular los tres lados del triángulo a partir de los parámetros de entrada. La primera fase es diferente para las diferentes consultas de triángulos ingresadas. La segunda fase calcula otras características del triángulo, como ángulos, área, perímetro, alturas, centro de gravedad, radios de círculo, etc. Algunos datos de entrada también dan como resultado dos o tres soluciones de triángulo correctas (p. Ej., Si el área del triángulo especificada y dos lados, lo que generalmente resulta en un triángulo agudo y obtuso).
Ahora sabemos las longitudes de los tres lados del triángulo, y el triángulo está determinado de forma única. A continuación, calculamos otra de sus características: el mismo procedimiento que el cálculo del triángulo a partir de los tres lados conocidos SSS.

1. El perímetro del triángulo es la suma de las longitudes de sus tres lados

2. Semiperímetro del triángulo

El semiperímetro del triángulo es la mitad de su perímetro. El semiperímetro aparece con frecuencia en fórmulas para triángulos a los que se les da un nombre separado. Según la desigualdad del triángulo, la longitud del lado más largo de un triángulo es menor que el semiperímetro.

3. El área del triángulo usando la fórmula de Heron

La fórmula de Heron da el área de un triángulo cuando se conoce la longitud de los tres lados. No es necesario calcular ángulos u otras distancias en el triángulo primero. La fórmula de Heron funciona igualmente bien en todos los casos y tipos de triángulos.

4. Calcula las alturas del triángulo a partir de su área.

Hay muchas formas de hallar la altura del triángulo. La forma más sencilla es desde el área y la longitud de la base. El área de un triángulo es la mitad del producto de la longitud y la altura de la base. Cada lado del triángulo puede ser una base, hay tres bases y tres alturas (altitudes). La altura del triángulo es el segmento de línea perpendicular desde un vértice hasta una línea que contiene la base.

5. Cálculo de los ángulos internos del triángulo usando una ley de cosenos

La ley de los cosenos es útil para encontrar los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados. La regla del coseno, también conocida como ley de los cosenos, relaciona los tres lados de un triángulo con un ángulo de un triángulo. La Ley de los cosenos es la extrapolación del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo. El teorema de Pitágoras funciona solo en un triángulo rectángulo. El teorema de Pitágoras es un caso especial de la Ley de los cosenos y se puede derivar de él porque el coseno de 90 ° es 0. Es mejor encontrar primero el ángulo opuesto al lado más largo. Con la Ley de los cosenos, tampoco hay problema con los ángulos obtusos como con la Ley de los senos porque la función coseno es negativa para los ángulos obtusos, cero para los ángulos rectos y positiva para los ángulos agudos. También usamos el coseno inverso llamado arcocoseno para determinar el ángulo a partir del valor del coseno.

6. Inradius

Un círculo de un triángulo es un círculo que es tangente a cada lado. Un centro en círculo se llama incentro y tiene un radio llamado inradius. Todos los triángulos tienen un incentro y siempre se encuentra dentro del triángulo. El incentro es la intersección de las bisectrices de tres ángulos. El producto del inradio y el semiperímetro (la mitad del perímetro) de un triángulo es su área.

7. Circumradius

La circunferencia de un triángulo es un círculo que pasa por todos los vértices del triángulo, y la circunferencia de un triángulo es el radio de la circunferencia de un triángulo. El circuncentro (centro del círculo circunscrito) es el punto donde se cruzan las bisectrices perpendiculares de un triángulo.

8. Cálculo de medianas

La mediana de un triángulo es un segmento de línea que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Cada triángulo tiene tres medianas y todas se cruzan entre sí en el centroide del triángulo. El centroide divide cada mediana en partes en una proporción de 2: 1, con el centroide dos veces más cerca del punto medio de un lado que del vértice opuesto. Usamos el teorema de Apolonio para calcular la longitud de una mediana a partir de las longitudes de su lado.


Relaciones de seno, coseno y tangente

Seno, coseno y tangente de un ángulo representan las razones que son siempre cierto para ángulos dados. Recuerda que estas proporciones solo se aplican a triángulos rectángulos.

Los 3 triángulos que se muestran a continuación ilustran esto.

Aunque las longitudes de los lados son diferentes, cada uno tiene un ángulo de 37 ° y, como puede ver, ¡el seno de 37 es siempre el mismo!

En otras palabras, $ sin ( red <37 ^ < circ >>) $ siempre es $ red <.6> $.

Práctica Problemas

Problema 1

En el diagrama 2, ¿qué lado es adyacente a $ angle L $?

¿De qué lado está la hipotenusa?

Utilice sochcahtoa para ayudar a recordar la proporción.

$ cos ( ángulo red L) = frac cos ( ángulo red L) = frac <8> <10> = .8 $

Calcular $ cos ( angle N) $ (un ángulo diferente al de la pregunta anterior, mire atentamente las letras).

Problema 2

¿Cuál es la razón sinusoidal de $ angle C $?

$ sin ( ángulo C) = frac < text> sin ( ángulo C) = frac <6> <10> sin ( ángulo C) = frac <6> <10> sin ( ángulo C) = .6 $

Problema 3

¿Cuál es la razón del coseno de $ angle C $ en $ triangle ABC $?

Problema 4

¿Cuál es la razón de la tangente de $ angle A $?

Utilice sochcahtoa para ayudar a recordar la proporción.

Problema 5

Utilice sochcahtoa para ayudar a recordar las proporciones.

$ text angle red R boxed sin ( red R) = frac sin ( red R) = frac <12> <13> sin ( red R) = .923 boxed cos ( red R) = frac cos ( red R) = frac <9> <13> = cos ( red R) .69 boxed tan ( red R) = frac tan ( red R) = frac <12> <9> tan ( red R) = 1.3 $

Problema 6

Mostrar respuesta

$ sin ( red X) = frac sin ( X roja) = frac <24> <25> sin ( X roja) = .96 $

Problema 7

Mostrar respuesta

$ sin ( red X) = frac sin ( X roja) = frac <7> <25> sin ( X roja) = .28 $

Problema 8

Calcular: $ text sin ( angle H) text cos ( angle H) text tan ( angle H) $

Mostrar respuesta

$ sin ( angle red H) = frac <3> <5> sin ( angle red H) = .6 cos ( angle red H) = frac <4> <5> cos ( angle red H) = .8 tan ( angle red H) = frac <3> <4> tan ( angle red H) = .75 $

Práctica Problemas II

Problema 9

¿Cuál de los siguientes ángulos tiene una relación de tangente de $ frac <3> <4> $?

Utilice sochcahtoa para recordar la relación de la tangente.

Entonces, ¿qué ángulo tiene una tangente que es equivalente a $ frac <3> <4> $?

Solo tienes 2 opciones. O $ angle L $ o $ angle K $. Entonces, calculemos la tangente para cada ángulo.

$ bronceado ( ángulo K) = frac <12> <9> frac <12> <9> rojo < ne> frac 3 4 $

$ bronceado ( ángulo L) = frac <9> <12> frac <9> <12> = frac 3 4 $

Problema 10

¿Qué ángulo de abajo tiene un coseno de $ frac <3> <5> $?

Utilice sochcahtoa para recordar la relación de la tangente.

Entonces, ¿qué ángulo tiene un coseno que es equivalente a $ frac 3 5 $?

Solo tienes 2 opciones. O $ angle L $ o $ angle K $. Entonces, calculemos la tangente para cada ángulo.

$ cos ( ángulo K) = frac <9> <15> frac <9> <15> red < ne> frac 3 4 $

$ cos (L) = frac <12> <15> frac <12> <15> = frac 3 5 $

Problema 11

¿Cuál de los siguientes ángulos tiene una tangente $ approx $ .29167?

Mostrar respuesta

Esto es un poco más complicado porque se le da la proporción en forma decimal, sin embargo, solo tiene dos opciones. O $ angle A $ o $ angle C $.

$ bronceado ( ángulo A) = frac <48> <14> tan ( ángulo A) = 3.42857 $

$ bronceado ( ángulo C) = frac <14> <48> tan ( ángulo C) = .29167 $

Problema 12

¿Qué ángulo de abajo tiene una tangente de 2.4?

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Nuevamente, hay dos opciones (ángulos R o P), pero dado que su relación es mayor que 1, es posible que rápidamente pueda notar que debe ser R.

$ bronceado ( ángulo P) = frac <5> <12> tan ( ángulo P) = 0. 41666 $

$ tan ( angle R) = frac <12> <5> tan ( angle R) = 2.4 $

Problemas de palabras

Problema 13

En $ triangle JKL $, sin (k) = $ frac <3> <5> $, ¿qué es tan (k)?

Es más fácil resolver un problema verbal como este, primero dibujando el triángulo y etiquetando los lados. Conocemos el lado opuesto de $ angle K $ y conocemos la hipotenusa.

Para obtener la relación de la tangente, necesitamos saber la longitud del lado adyacente.

¿Cómo podemos encontrar la longitud del lado adyacente?

$ a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 3 ^ 2 + b ^ 2 = 5 ^ 2 b ^ 2 = 5 ^ 2- 3 ^ 2 = 25-9 = 16 b = 4 $


Preguntas de geometría para SSC CHSL PDF

SSC Stenographer Constable Geometry Question and Answers descargar PDF basado en el documento de preguntas del año anterior del examen SSC Stenographer. 10 preguntas de geometría muy importantes para el taquígrafo Constable.

Pregunta 1: El punto R se encuentra en el segmento de línea PQ tal que PR = 24 cm y RQ = 6 cm. Los puntos S y T se encuentran en el mismo lado de la recta PQ, de manera que $ triangle $ PRS y $ triangle $ RQT son triángulos equiláteros. Si M y N son puntos medios del segmento de línea PT y QS respectivamente, entonces averigüe el área de $ triangle $ MNR.

Pregunta 2: Se da que AO = BO y PA y PC son tangentes al círculo. Si $ angle $ OBC = $ x $ °, entonces averigüe el valor de $ 20x $?

Pregunta 3: Un círculo contiene 2 cuerdas perpendiculares AB y CD. La longitud del acorde AB es de 6 cm y la del acorde CD es de 12 cm. C está más cerca de A y B que de D. Si se sabe que la cuerda CD pasa por O, el centro del círculo, ¿cuál es el área del polígono AOBD?

Pregunta 4: 3 círculos de igual tamaño están apretados dentro de un círculo más grande de modo que los 3 círculos se toquen entre sí externamente y toquen el círculo más grande internamente. Si el diámetro del círculo más pequeño es "r", entonces el área fuera de los círculos más pequeños pero dentro del círculo más grande es

Pregunta 5: ¿Cuál es el volumen de un tetraedro regular cuyo lado mide 20 cm?

Pregunta 6: En un triángulo ABC, P, Q, R son puntos en los lados AB, BC, AC respectivamente tales que RQ = CQ y PQ = BQ. Encuentra $ ángulo$ cuando $ ángulo = 60 $ °? (En grados)

Pregunta 7: En la figura que se muestra a continuación, si "C" es el centro del círculo y a, b, c son las áreas del Triángulo PQR, Cuadrado QTRC y Círculo respectivamente. Encuentra la razón a: b: c.

Pregunta 8: Encuentre el área delimitada por la gráfica y = | x + p | y y = 6

Pregunta 9: Un triángulo equilátero GCD se construye en el lado CD de un cuadrado ABCD. E es el punto medio del lado AB. ¿Cuál es la razón del área dentro del cuadrado ABCD y del triángulo exterior EDC al área del polígono DECG?

Pregunta 10: Se dibuja un cuadrado EFGH de lado 6 cm en un triángulo equilátero ABC de modo que GH se encuentre a lo largo de BC. E está en el lado AB y F está en el lado AC respectivamente. Encuentra el lado del triángulo.

Respuestas y soluciones de amplificador:

Resolvamos este problema con la ayuda de la geometría de coordenadas. Suponga que el punto P está en el origen y Q está en (30, 0), entonces las coordenadas de R = (24, 0).

Se nos da que los puntos S y T se encuentran en el mismo lado de la recta PQ de manera que $ triangle $ PRS y $ triangle $ RQT son triángulos equiláteros. Por tanto, podemos decir que PR = RS = PS = 24 unidades y RQ = QT = RT = 6 unidades.

Sabemos que la altura de un triángulo equilátero = $ dfrac < sqrt <3> a> <2> $

La coordenada & # 8216x & # 8217 del punto S será la mitad de la suma de las coordenadas & # 8216x & # 8217 de los vértices P y R.

& # 8216y & # 8217 La coordenada del punto S será igual a la altura del triángulo PSR.

Por tanto, las coordenadas del vértice S = ($ dfrac <0 + 24> <2> $, $ dfrac <24 sqrt <3>> <2> $) = ($ 12 $, $ 12 sqrt <3> $ )

De manera similar, en el triángulo RTQ,

Coordenadas del vértice T = ($ dfrac <24 + 30> <2> $, $ dfrac <6 sqrt <3>> <2> $) = ($ 27 $, $ 3 sqrt <3> $) .

Se da que M y N son puntos medios del segmento de línea PT y QS respectivamente, por lo tanto,

Coordenadas del punto N = ($ dfrac <30 + 12> <2> $, $ dfrac <0 + 12 sqrt <3>> <2> $) = ($ 21 $, $ 6 sqrt <3 > $).

También coordenadas del punto R = (24, 0).

Ahora que tenemos todos los vértices del triángulo MNR podemos encontrar la distancia MN, NR y MR.

Podemos ver que MN = NR = MR. Por tanto, podemos decir que el triángulo MNR es un triángulo equilátero.

Por lo tanto, el área del triángulo MNR = $ dfrac < sqrt <3>> <4> times (3 sqrt <13>) ^ 2 $ = $ dfrac <117 sqrt <3>> <4> $ cm cuadrados

Por tanto, la opción A es la respuesta correcta.

Dibujando AQ y QB donde Q es el centro del círculo. En cuadrilátero PAQB

Sabemos que el ángulo subtiende por la tangente del centro del círculo = 90 °, es decir, $ angle $ PAQ = $ angle $ QBP = $ angle $ QBC = 90 °

$ Flecha derecha $ 90 ° + $ ángulo $ AQB + 90 ° + 75 ° = 360 °

$ Flecha derecha $ $ ángulo $ AQB = 105 °

Sabemos que el ángulo subtend por una cuerda en el centro es el doble del ángulo subtend en el perímetro. por lo tanto

$ Flecha derecha $ $ ángulo $ AOB = $ frac <1> <2> times 105 $ = 52.5 °

Como AO = OB, entonces $ angle $ AOQ = $ angle $ BOQ = $ frac <1> <2> times $ $ angle $ AOB

$ Flecha derecha $ $ ángulo $ AOQ = $ ángulo $ BOQ = $ frac <1> <2> times $ 52.5 ° = 26.25 °

$ Rightarrow $ QB = QO por lo tanto

Sabemos que $ angle $ QBC = $ angle $ QBO + $ angle $ OBC = 90 °

$ Flecha derecha $ $ ángulo $ OBC = 90 ° & # 8211 26.25 ° = 63.75 ° = $ x $ °

El valor de 20 $ x $ = 20 * 63,75 = 1275. Por tanto, 1275 es la respuesta correcta.

CD pasa por el centro del círculo. Por lo tanto, CD debe ser el diámetro del círculo.
Longitud del CD = 12 cm
= & gt Radio del círculo = 6 cm.
Longitud de AB = 6 cm.

Si conectamos AB al centro del círculo, obtendremos un triángulo equilátero (los 3 lados serán 6 cm).
Ahora, unamos A y D y B y D.

$ angle AOB $ = 60ᵒ (Dado que el triángulo AOB es un triángulo equilátero).
$ angle AOB $ y $ angle ADB $ están subtendidos por el mismo acorde, $ AB $.
Por lo tanto, $ angle ADB $ = 30ᵒ (El ángulo subtendido por una cuerda en la circunferencia es la mitad del ángulo subtendido por la misma cuerda en el centro).

Ahora, en el triángulo AOB, AO = BO = 6 cm (Radios del círculo).
$ angle ADO $ = 30ᵒ / 2 = 15ᵒ (Dado que la figura es simétrica con respecto a CD).
= & gt $ angle OAD $ = 15ᵒ (Dado que el triángulo AOD es isósceles).
Por lo tanto, $ angle AOD $ = 180ᵒ & # 8211 15ᵒ & # 8211 15ᵒ = 150ᵒ.
Área del triángulo AOD = 0.5 * r * r * sin 150ᵒ
= 0.5*6*6*0.5
= 9 $ cm ^ 2 $
Área de la figura AOBD = 2 * Área del triángulo AOD
= 2*9
= 18 $ cm ^ 2 $

Por tanto, la opción B es la respuesta correcta.

El radio del círculo más pequeño es $ frac<2> $ ya que se ha dado que el diámetro es $ r $.

Al unir los radios de los 3 círculos, obtenemos un triángulo equilátero de lado $ r $.
El incentivo de este triángulo equilátero también será el centro del círculo más grande.
Inradio del triángulo equilátero = $ frac<2 sqrt <3>> $
Radio del círculo exterior = Radio del círculo más pequeño + Circumradius del triángulo.
= & gt Radio del círculo exterior = $ frac <2> + frac< sqrt <3>> $
Área del círculo más grande = $ pi * [ frac<2> * (1 + frac <2> < sqrt <3>>)] ^ 2 $
= $ frac < pi * r ^ 2> <4> * (1+ frac <4> <3> + frac <4> < sqrt <3>>) $
= $ frac < pi * r ^ 2> <4> * ( frac <7 + 4 sqrt <3>> <3>) $

Área de los círculos más pequeños = $ 3 * frac < pi r ^ 2> <4> $, ya que $ r $ es el diámetro aquí.
Diferencia entre las áreas = $ frac < pi r ^ 2> <4> ( frac <7 + 4 sqrt <3>> <3> & # 8211 3) $
= $ frac < pi r ^ 2> <4> ( frac <4 sqrt <3> -2> <3>) $

Por tanto, la opción B es la respuesta correcta.

Se ha previsto que el tetraedro sea regular.

En geometría sólida, el volumen de una pirámide es un tercio del volumen de un prisma con altura similar.
El tetraedro es un caso especial de pirámide.
Primero averigüemos el volumen del prisma y luego dividámoslo por 3.

Las 4 caras triangulares de un tetraedro son congruentes. Por lo tanto, la altura del triángulo será la altura inclinada del tetraedro.
Supongamos que el lado del triángulo es $ a $.
Inradius = $ a / 2 sqrt <3> $
En radio, la altura del tetraedro y la altura del triángulo forman un triángulo rectángulo.

Aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos $ h ^ 2 + (a / 2 sqrt <3>) ^ 2 = ( sqrt <3> a / 2) ^ 2 $

Altura del tetraedro = $ frac < sqrt <6> a> <3> $

Volumen del tetraedro, V = (1/3) * área del triángulo base * altura del tetraedro
= $ frac <1> <3> * frac < sqrt <3> a ^ 2> <4> * frac < sqrt <6> a> <3> $
= $ frac<6 sqrt <2>> $
Ahora, podemos encontrar el volumen del tetraedro sustituyendo el valor de $ a = 20 $.
$ V = frac <20 ^ 3> <6 sqrt <2>> $
$ V = frac <8000> <6 sqrt <2>> $
$ V = 942,8 cm ^ 3 $
Por tanto, la opción C es la respuesta correcta.

Solución alternativa:

El volumen de un tetraedro está dado por la fórmula, $ V = frac<6 sqrt <2>> $.
Sustituyendo $ a = 20 $, podemos encontrar la respuesta.

Tomemos $ angle = c $ y $ ángulo = b $
De la siguiente figura
60 + b + c = 180
b + c = 120
En triángulo QRC
2c + e = 180 ……… .. (I)
En triángulo PQB
2b + f = 180 ……… .. (II)
(I) + (II)
2 (b + c) + e + f = 360
e + f = 120
$ ángulo = 180- (e + f) = 60 $

deja que el radio del círculo sea "r"
La longitud del lado del cuadrado es igual a "r"
Área del cuadrado QTRC, b = $ r ^ <2> $
Área del triángulo PQR, a = $ frac <1> <2> $ * $ 2r $ * $ r $ = $ r ^ <2> $ (la altura del triángulo es igual a la del radio $ r $ del circulo.)
Área del círculo, c = $ pi $ * $ r ^ <2> $
a: b: c = $ 1 $: $ 1 $: $ pi $

Mira la figura.
Dado que la pendiente de las rectas es 1
Anfle CBO = Ángulo DCB = 45
BD = DC = 6
De manera similar AD = 6
Área = 1/2 * 12 * 6 = 36

Sea el lado del cuadrado "$ a $"
Área del triángulo EDC = & gt $ frac <1> <2> times a times a $ = $ frac <2>$
Área del triángulo GDC = & gt $ frac < sqrt <3> a ^ 2> <4> $
Área del polígono DECG = & gt $ frac <2> & # 8211 frac < sqrt <3> a ^ 2> <4> $ = $ frac <(2 - sqrt <3>) a ^ 2> <4> $
Área dentro del cuadrado ABCD y fuera del triángulo EDC = & gt $ frac <2>$
Proporción = & gt $ frac < frac<2>> < frac <(2 - sqrt <3>) a ^ 2> <4>> $ = $ frac <2> <2 & # 8211 sqrt <3>> $
Por tanto, la opción C es correcta.

10) Respuesta (B)

Dibujar una perpendicular desde el vértice A al lado EF para intersecarlo en el punto D

ED / DA = tan30 °
Por simetría, ED = 3 cm
= & gt DA = 3√3 cm
Altitud del triángulo = & gt (6 + 3√3) cm
Lado del triángulo = & gt (2 / √3) (6 + 3√3) cm
Lado del triángulo = & gt (4√3 + 6) cm
Por tanto, la opción B es correcta.

Esperamos que estas preguntas de geometría para SSC Stenographer sean de gran utilidad para su preparación.


Pocos problemas de geometría supuestamente fáciles más que me confunden (¿Dónde está la gente de geometría?)

** NOTA: REPOSTAR PORQUE LA GENTE QUERÍA FOTOGRAFÍAS, pero trate de hacerlo sin imágenes porque no obtuvimos imágenes cuando resolvimos estos problemas y tuvimos que idear estas formas y diagramas nosotros mismos.

Oye, les agradecería que pudieran desglosar estos problemas y explicar cómo resolverían la solución porque me confunden la mierda jajaja.

Un círculo pasa por los puntos medios de la hipotenusa. AB y pierna antes de Cristo de un triángulo rectángulo A B C y toca la otra pierna C.A.. ¿En qué proporción se divide ese punto de tangencia? C.A.?

Triángulo A B C está inscrito en un círculo. Una extensión de la mediana extraída del vértice A interseca este círculo en el punto D. Encontrar antes de Cristo Si C.A. = corriente continua = 1.

Encuentra el valor mínimo de la expresión: |a + b | + sqrt ( (a - 1)2 + (B - 3)2 ).

Un cuadrilátero A B C D está inscrito en un círculo. Diagonal C.A. biseca el ángulo MALO y se cruza con la otra diagonal BD en el punto K. Encontrar KC Si antes de Cristo = 4 y Alaska = 6.

En un rectángulo de 5 por 12 A B C D, se dibujan dos diagonales y se inscriben dos círculos en los triángulos rectángulos MALO y BCD. Calcula el cuadrado de la distancia entre los centros de los círculos.

El área de un triángulo ABC es S. Calcula el área de un triángulo cuyos lados son iguales a las medianas del triángulo.

En un triángulo rectángulo, la altitud a la hipotenusa es igual a 1, la medida de uno de los ángulos agudos es igual a 15 grados. Encuentra la hipotenusa.

Nuevamente, intente hacerlo creando sus propios diagramas, ya que no obtuvimos los diagramas cuando lo hicimos.

Una vez más, gracias por toda la ayuda.

Para el problema 1, puedo estar equivocado, pero creo que su diagrama es incorrecto, el punto de intersección entre el círculo y la hipotenusa no debería ser una tangencia, ahora una solución.

Coloque ABC en el plano de manera que los catetos queden perpendiculares al eje. Llame al círculo O y a los puntos de intersección D y E respectivamente. Claramente, D y E tienen la misma coordenada y. Además, llame a la tangencia del círculo a AC F, OF es perpendicular a AC que es paralelo al eje x, haciendo que OF sea paralelo al eje y. Usando hechos relativamente simples sobre trigonometría, está claro que la distancia de D a OF es igual a la de E a OF, llame a la intersección de DE y OF G. Al hacer uso de rectángulo que contiene los puntos D, A, E, G, que la longitud del segmento AD es igual a la longitud del segmento EG. Finalmente, dejando caer una perpendicular desde D (punto medio de la hipotenusa) a AC, la respuesta debería quedar clara.

Si aún es confuso, intente encontrar la longitud de AC como una suma de 2 maneras usando la información de arriba

para & quotBusque el valor mínimo de la expresión: |a + b | + sqrt ( (a - 1)^2 + (B - 3)^2 ). & quot; Piense en esto geométricamente, es decir, geometría de coordenadas. pista: si pensamos que a y b representan las coordenadas (x, y) de un punto, entonces sqrt (a - 1)^2 + (B - 3) ^ 2 es la expresión para la distancia del punto (a, b) al punto (1,3). entonces .. encuentre el punto (a, b) que está simultáneamente más cerca de (1,3) y hace | a + b | el mas pequeño

Lo siento, hice el tonto, cansado ayer. Piense en | a + b | de esta manera: si | a + b | = algún número c, entonces tienes dos líneas posibles como

b = -a - c, es decir, c determina la intersección en y de la línea correspondiente a | a + b |. Piense en la geometría de estas líneas y el círculo centrado en (1,3).

si nos restringimos al primer cuadrante (lo cual tiene sentido porque. [dibujar]) entonces | a + b | es simplemente sumar las coordenadas xey del punto

El mínimo ocurre en un punto que no está en el primer cuadrante.

Para algunos de estos, puede simplemente asumir la versión & quotsimple posible & quot de la forma y calcular la respuesta para eso.

El triángulo ABC está inscrito en un círculo. Una extensión de la mediana dibujada desde el vértice A interseca este círculo en el punto D. Encuentre BC si AC = DC = 1.

Suponga que el lado BC es un diámetro del círculo. Entonces el ángulo A es un ángulo recto y ABDC forma un cuadrado. ¿Es esto compatible con la información que se le proporciona? Sí: un cuadrado le permite tener AC = DC = 1. Entonces BC es una diagonal del cuadrado, que tiene una longitud sqrt (2).

Esta estrategia funciona, porque si la cantidad que solicita es una constante que será cierta para cualquier versión de la forma, entonces obviamente seguirá siendo cierta para la versión más simple posible de la forma.

Pero debe tener cuidado, porque a veces la información proporcionada le impide hacer una forma & quot; demasiado simple & quot. Por ejemplo:

Un cuadrilátero ABCD está inscrito en un círculo. La diagonal AC biseca el ángulo BAD y se cruza con la otra diagonal BD en el punto K. Encuentre KC si BC = 4 y AK = 6.

El cuadrilátero & quotsimplest & quot que podríamos inscribir en un círculo sería un cuadrado, pero si lo intentamos, encontraremos que podemos & # x27t hacer que BC = 4 y AK = 6 esa información sea incompatible con ABCD siendo un cuadrado. (Creo que una cometa donde AC es un diámetro debería funcionar bien. Sin embargo, Haven & # x27t lo trabajó para ver qué tan simple esto hace el problema).

El área de un triángulo ABC es S. Calcula el área de un triángulo cuyos lados son iguales a las medianas del triángulo.

Bueno, si esto funciona para cualquier triángulo, debe funcionar para un triángulo equilátero. Entonces, sea ABC un triángulo equilátero con una longitud de lado x. Entonces el triángulo más pequeño también será equilátero. Las áreas de ambos triángulos son fáciles de descifrar usando Pitágoras, por lo que podemos dividirlas directamente.

Problema 2: Digamos que el lado BC es un diámetro del círculo. Entonces el ángulo A es un ángulo recto y ABDC forma un cuadrado. La información dada, AC = DC = 1 funciona si ABDC es un cuadrado. Por lo tanto, AB también es igual a 1.

Si el ángulo A es de 90 grados, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo y BC es la hipotenusa. Usando el teorema de Pitágoras: a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 Dado que 1 al cuadrado es 1 y 1 + 1 es 2, la longitud de BC es la raíz cuadrada de 2.

Puede que lo haya complicado demasiado.

En su segundo ejemplo, dado que hay un triángulo ABC y una mediana extendida de A a D. Entonces podemos decir que hay un cuadrilátero dentro del círculo, y ese es el cuadrilátero ABDC. Y dado que AD es la extensión de la mediana del triángulo ABC, entonces podemos decir que AD biseca a BC.

Y volviendo al hecho de que existe el cuadrilátero ABDC. Entonces también podemos decir que BC es una diagonal del Cuadrilátero dado. Hay otra diagonal, y esa es AD, ya que las diagonales son segmentos de línea que unen 2 vértices no adyacentes.

Dado que la diagonal AD biseca BC, entonces ya podemos identificar qué tipo de cuadrilátero es este. por supuesto que es un PARALELOGRAMA. Y como AC = DC = 1, entonces los dos lados del PARALELOGRAMA ya son iguales. ¿Qué es un paralelogramo que tiene 2 lados iguales cuya diagonal biseca a otra? es un ROMBO. Dado que CUADRADO es el único Rombo que se puede inscribir en un círculo. Por lo tanto, el Cuadrilátero es un CUADRADO y dado que AC = DC = 1, aplicando el Teorema de Pitágoras las diagonales se miden como SQRT2.

¿Cómo diablos llegaste a la conclusión de que era un paralelogramo? No tiene que ser asi.

Sí, eso es lo que yo también me preguntaba. ¿Cuál es su razonamiento para concluir que la forma es efectivamente un paralelogramo?

Mis soluciones a todos estos, sin ningún & quot suposiciones & quot:

El hecho de que sea un círculo simplemente complica demasiado el problema. Sea el punto medio de BC M, el punto medio de AB sea N y el punto de tangencia con AC sea P.

El hecho importante aquí es que MN || AC, por lo que la bisectriz perpendicular de MN debe intersecar a P! Una forma de demostrar esto de manera rigurosa es utilizar las líneas paralelas y la condición de tangencia para demostrar que el triángulo MNP es isósceles (a través de ángulos).

El resto es fácil: la altitud de N a AC lo divide en dos mitades, y la bisectriz perpendicular de MN lo divide por la mitad nuevamente, por lo que CP es efectivamente un cuarto de AC.

¡Este no es un problema fácil! Me tomó algo de tiempo. Usaré los siguientes teoremas:

Básicamente, el teorema de Stewart & # x27 dice lo siguiente: Suponga que tiene un triángulo ABC y un punto D en BC. Sea AD = d, BC = a, AB = c, BC = b, BD = m, CD = n. Entonces lo siguiente es válido:

La forma de recordar esto es reorganizarlo de la siguiente manera:

papá + hombre = bmb + cnc (& quot; papá y un hombre pusieron una bomba en el fregadero & quot)

Puedo darte una prueba de esto si quieres.

¡Adelante! Sea E la intersección entre AD y BC. Utilice Stewart & # x27s en CAD triangular. Luego:

(CE) 2 (AD) + (AE) (ED) (AD) = AC 2 * DE + CD 2 * AE.

Sabemos AC = CD = 1, y sea x = CE = BE. Limpia la expresión anterior para obtener:

x 2 (AD) + (AE) (ED) (AD) = DE + EA = AD

¡Hay AD en todas partes! Dividir para obtener:

Ahora el final: por el poder de un punto (o el & quot; teorema de acordes intersectantes & quot), AE * ED = BE * EC. ¡Pero BE = EC = x! Entonces (AE) (ED) = x 2, y:

Concluimos que x = sqrt (2) / 2 y BC = sqrt (2).

Mi solución es larga. Lo dejaré al final de esta publicación.

Si AC biseca el ángulo & ltBAD, entonces & ltCBD = & ltCAD = & ltCAB = & ltCDB. Por lo tanto, el CBD triangular es isósceles. Dado que BC = 4, ahora sabemos que CD = 4.

¿Ahora que? El mismo truco de siempre. Utilice el teorema de Stewart & # x27s sobre el triángulo de CBD. Sea CK = x. Lo entendemos:

x 2 (BD) + (BK) (KD) (BD) = 16KD + 16BK = 16BD.

Dividir por BD para obtener:

Por potencia de un punto, (BK) (KD) = 6x, entonces tenemos una cuadrática en x:

Esto factoriza fácilmente y obtenemos x = 2.

Vamos a utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la distancia. Para hacer eso, vamos a dibujar los inradios a los lados del rectángulo, y dibujaremos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el segmento entre los radios, de modo que sus catetos sean paralelos a los lados del rectángulo. Ahora solo necesitamos la longitud de estas piernas.

Primero, vamos a calcular el radio interno de los círculos. Cada círculo está inscrito en un triángulo rectángulo 5-12-13. Usaré la siguiente fórmula:

Es decir, el área del triángulo es el inradio multiplicado por el semiperímetro (la mitad del perímetro). Puedo proporcionar una prueba de esta fórmula si lo desea.

De todos modos, el área del triángulo 5-12-13 es claramente 30, y el semiperímetro es (5 + 12 + 13) / 2 = 15. Por lo tanto, 30 = 15r, y el radio interno es 2.

Ahora, las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo que dibujamos antes serán 12 - 2 - 2 y 5 - 2 - 2 (puedo ampliar esto si quieres), así que las longitudes son 8 y 1. Por pitágoras, la distancia se convierte en sqrt (65).

Este es un resultado muy clásico y la prueba es muy bonita.

Sean los puntos medios de BC, AC y AB M, N y P, respectivamente. Ahora emplearé algunos trucos: I & # x27m voy a traducir la mediana AM, de modo que el punto M termine en C. Bajo esta traducción, el punto A termina en un nuevo punto que llamaremos Q. Entonces el cuadrilátero AMCQ es un paralelogramo.

Ahora, dado que AQ = MC = BM, ¡observe que AQMB también es un paralelogramo! De estos paralelogramos, concluimos que lo siguiente:

¡Y voilá! ¡Las longitudes de los lados del triángulo CPQ son exactamente las longitudes de las medianas del triángulo ABC! Ahora solo necesitamos el área de CPQ.

Notación rápida: [ABCDEFGH] es el área de ABCDEFGH. Sea [ABC] = K. Entonces [AQC] = K / 2, ya que la base (AQ) es la mitad de la de (BC) y las alturas son las mismas. Por tanto, [ABCQ] = 3/2 K.

Ahora restamos [APQ] y [BPC]. Tenemos que el triángulo APQ tiene la mitad de la altura del triángulo AQC (porque P es un punto medio, y podemos usar un argumento de triángulos similar después de dibujar las altitudes), entonces [APQ] = [AQC] / 2 = K / 4. Además, el triángulo BPC tiene la mitad de la altura del triángulo ABC, por lo que [BPC] = K / 2.

En total, [CPQ] = [ABCQ] - [APQ] - [BPC] = 3/2 K - 1/4 K - 1/2 K = 3/4 K

Siento que hay una solución más fácil para esto que lo que se me ocurrió, porque esto es casi como usar una bomba nuclear en una mosca.

Por tanto, necesitamos minimizar | a + b | + raíz cuadrada ((a-1) 2 + (b-3) 2). En primer lugar, creo que la expresión debajo de la raíz cuadrada es fea, así que haz las siguientes sustituciones: a = x + 1, b = y + 3. Entonces el problema se reduce al mínimo:

Sí, necesitamos una interpretación geométrica aquí. Sabemos que sqrt (x 2 + y 2) es solo la distancia al origen, pero ¿qué pasa con | x + y + 4 |? Alerta de spoiler: Esto es sqrt (2) multiplicado por la distancia desde (x, y) a la línea x + y + 4 = 0 (puede probar esto con triángulos rectángulos, o use la fórmula de distancia a línea).

Entonces, si el origen es O, (x, y) es P, y el pie de la altitud desde P a la línea L definida como x + y + 4 = 0 es Q, entonces necesitamos minimizar sqrt (2) * PQ + OP.

¡Ack, este problema sigue siendo más feo que yo! ¿Por qué L es una línea diagonal? ¡Eso apesta! Dejemos que & # x27s gire el plano de coordenadas 45 grados en sentido antihorario, de modo que nuestra línea L ahora sea la línea y = -2sqrt (2). (Puede probar esto calculando la distancia entre O y L) Ahora deje que las coordenadas de P (x, y) se refieran a este plano de coordenadas porque es más amigable.

Ahora, usando la observación de que (x, y) debe estar por encima de la línea L para la cantidad que queremos que sea mínima, podemos configurar fácilmente algunas expresiones algebraicas para PQ y OP y ganar. Pero aquí & # x27s un enfoque más intuitivo: ¿Cuál debería ser la coordenada x para que sqrt (2) PQ + PO sea mínimo? Observe que como y permanece fijo y variamos x, la distancia desde (x, y) a la línea horizontal L no cambia.Entonces, como solo x varía, sqrt (2) PQ + PO se minimiza exactamente cuando se minimiza PO. Pero, ¿no sucede esto exactamente cuando x = 0?

Ok, entonces x = 0. Ahora variamos y. Dado que x = 0, las distancias PO y PQ son todas distancias verticales, por lo que esto se reduce a minimizar la cantidad:

En este punto, puede calcular la gráfica de esta ecuación y estará listo. Alternativamente, podemos hacer un argumento informal: esto es solo una suma de distancias absolutas en una recta numérica donde la distancia al número 2sqrt (2) está más ponderada, por lo que para minimizar la suma de la distancia ponderada debemos hacer que la distancia sea 2sqrt (2) 0. Por lo tanto, establecemos y = 2sqrt (2), lo que nos lleva a nuestra respuesta final: | y | + sqrt (2) | y - 2sqrt (2) | = 2 cuadrados (2)

Para que conste, quienquiera que le haya dicho estos problemas está & quoteasy & quot; está mintiendo.

(editar: no sé cómo usar superíndices en reddit) (editar2: tampoco sé cómo usar asteriscos en reddit)


Si comienzas con la secuencia de números cuadrados y tomas todas las diferencias entre términos consecutivos, obtienes todos los números impares en secuencia. Por ejemplo, $ 2 ^ 2 - 1 ^ 2 = 3 3 ^ 2 - 2 ^ 2 = 5 4 ^ 2-3 ^ 3 = 7 $ Algunas veces, ese número impar resulta ser un cuadrado en sí mismo. Por ejemplo, tenemos $ 5 ^ 2 - 4 ^ 2 = 9 = 3 ^ 2 13 ^ 2 - 12 ^ 2 = 25 = 5 ^ 2 $ Reordenando estos, obtenemos triples pitagóricos: $ 3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2 5 ^ 2 + 12 ^ 2 = 13 ^ 2 $ Si queremos describir todas las diferentes triples pitagóricas que aparecen de esta manera, terminamos con exactamente tu expresión.

Su fórmula señala que, a menudo, los Triples pitagóricos tienen la forma $ (t_1, t_2, t_2 + 1) $. Intenta ver cuándo es este el caso y esta fórmula genera que, tenemos: $ (2n ^ 2 + 2n + 1) ^ 2- (2n ^ 2 + 2n) ^ 2 = 4n ^ 2 + 4n + 1 = ( 2n + 1) ^ 2 $

Dado que la diferencia aquí es solo un cuadrado, es un triple válido. Sin embargo, esto pasa por alto muchos triples, particularmente los múltiplos de los triples existentes, pero un ejemplo es $ (8,15,17) $. Prefiero el uso de:

$ (p ^ 2-q ^ 2) ^ 2 + (2pq) ^ 2 = (p ^ 2 + q ^ 2) ^ 2 $ Esto es más notable por su vínculo con números complejos, es $ Re (z ^ 2) + Im (z ^ 2) = | z ^ 2 | $ y esto se puede usar para generarlos. Configure su calculadora en modo Complejo y use $ (1000 text+ text <1000Ran #> i) ^ 2 = $ y cada resultado será la base y la altura de un triángulo de Pitágoras.

(Ran # es el generador de números aleatorios de mi calculadora, podría ser diferente al tuyo. También genera de .001 $ a $ 1 $, máximo $ 3 $ dp, de ahí mi multiplicación por $ 1000 $)

Considere el triple primitivo pitagórico $ (a, b, c) $. Considere $ b = 4T_n $ donde $ T_n $ es $ n ^ < text> $ número triangular. Note que si esto es así, entonces el valor de $ c $ es $ 4T_n + 1 $.

Tenga en cuenta que la fórmula para el texto $ n ^ <> $ número triangular viene dado por $ frac<2> $. Todo lo que nos queda por hacer es resolver $ a $ de la siguiente ecuación: $ a ^ 2 + [4T_n] ^ 2 = [4T_n + 1] ^ 2 $. Resolver esto da el valor de $ a $ como $ 2n + 1 $. Por tanto, $ (a, b, c) = (2n + 1, 4T_n, 4T_n + 1) $ es un triple pitagórico.

Su fórmula (la llamo & quot; la suya & quot; en referencia a la publicación) es un caso especial de una fórmula que desarrollé en 2009 y que ocasionalmente he publicado aquí en respuesta a preguntas sobre las triples pitagóricas.

empezar qquad A = (2n-1) ^ 2 + 2 (2n-1) k qquad B = 2 (2n-1) k + 2k ^ 2 qquad C = (2n-1) ^ 2 + 2 (2n- 1) k + 2k ^ 2 end

Genera el subconjunto de triples donde $ GCD (A, B, C) $ es un cuadrado impar. La siguiente tabla muestra estos conjuntos donde $ n $ es el número de conjunto y $ k $ es la & quot cuenta & quot o número de miembro dentro del conjunto.

empezar n & amp k = 1 & amp k = 2 & amp k = 3 & amp k = 4 & amp k = 5 & amp k = 6 hline Set_1 & amp 3,4,5 & amp 5,12,13 & amp 7,24,25 & amp 9,40 , 41 & amp 11,60,61 & amp 13,84,85 hline Set_2 & amp 15,8,17 & amp 21,20,29 & amp27,36,45 & amp33,56,65 & amp 39,80,89 & amp 45,108,117 hline Set_3 & amp 35,12,37 & amp 45,28,53 & amp55,48,73 & amp65,72,97 & amp 75,100,125 & amp 85,132,157 hline Set_ <4> & amp63,16,65 & amp77,36,85 & amp91,60,109 & amp105,88,137 & amp119,120,169 & amp 133,156,205 hline Set_ <5> & amp99,20,101 & amp117,44,125 & amp135,72,153 & amp153,104,185 & amp171,140,221 & amp 189,180,261 hline end Si dejamos que $ n = 1 $, mi fórmula se convierte en $ quad A = (2k + 1) ^ 2 quad B = (2k ^ 2 + 2k) ^ 2 quad C = (2k ^ 2 + 2k +1) ^ 2 quad $ que coincide exactamente con el suyo y genera el subconjunto $ (Set_1) $ en la tabla anterior.

¿Qué tan desarrollado? Observe que la diferencia $ (d) = (C-B) = (2n-1) ^ 2 $ y el incremento $ (i) $ entre los valores de $ A $ es $ 2 (2n-1) $. Ahora observe que $ A $ es la suma de $ (d) $ más el incremento $ (i) $ multiplicado por $ (k) $. A partir de aquí, la función B y la función C siguen sustituyendo las expresiones ahora conocidas para $ A $ y $ (C-B) $ en el teorema de Pitágoras.


Temas de Matemáticas SSC Artículos resueltos sabiamente y Geometría # 8211

1. ABCD es un cuadrilátero en el que la diagonal BD = 64 cm, AL ⊥ BD y CM ⊥ BD, de manera que AL = 13.2 cm y CM = 16.8 cm. El área del cuadrilátero ABCD en centímetros cuadrados es (SSC Sub. Ins. 2012)

(a) 537,6
(b) 960.0
(c) 422,4
(d) 690,0

2. En ∆ABC, ∠B = 60 °, ∠C = 40 ° Si AD biseca ∠BAC y AE ⊥ BC, entonces ∠EAD es (SSC Sub. Ins. 2012)
(a) 40 °
(b) 80 °
(c) 10 °
(d) 20 °

3. En la figura siguiente, si AB || CD y CE ⊥ED entonces el valor de x es (SSC Sub. Ins. 2012)

(a) 37
(b) 45
(c) 53
(d) 63

4. PA y PB son dos tangentes trazadas desde un punto externo P a un círculo con centro O donde los puntos A y B son los puntos de contacto. El cuadrilátero OAPB debe ser (SSC Sub. Ins. 2012)
(a) un cuadrado
(b) concílico
(c) un rectángulo
(d) un rombo

5. G es el centroide de ∆ABC. Si AG = BC, entonces ∠BGC es (SSC Sub. Ins. 2012)
(a) 60 °
(b) 120 °
(c) 90 °
(d) 30 °

6. En la siguiente figura, si OA = 10 y AC = 16, entonces OB debe ser (SSC Sub. Ins. 2012)

(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 6

7. Si en ∆ABC, ∠A = 90 °, BC = a, AC = by AB = c, entonces el valor de tan B + tan C es (SSC Sub. Ins. 2012)

8. ABC es un triángulo rectángulo, rectángulo en C yp es la longitud de la perpendicular de C en AB. Si a, byc son las longitudes de los lados BC, CA y AB respectivamente, entonces (SSC CHSL 2012)

9. Si ∆ABC es un triángulo isósceles con ∠C = 90 ° y AC = 5 cm, entonces AB es: (SSC CHSL 2012)
(a) 5 cm
(b) 10 cm
(c) 5√2 cm
(d) 2,5 cm

10. La longitud de los dos lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo son 6 cm y 8 cm. La longitud de su circunferencia es: (SSC CHSL 2012)
(a) 5 cm
(b) 7 cm
(c) 6 cm
(d) 10 cm

11. La longitud del radio de la circunferencia de un triángulo que tiene lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm es: (SSC CHSL 2012)
(a) 2 cm
(b) 2,5 cm
(c) 3 cm
(d) 1,5 cm

12. A, O, B son tres puntos en un segmento de línea y C es un punto que no se encuentra en AOB. Si ∠AOC = 40 ° y OX, OY son las bisectrices internas y externas de ∠AOC respectivamente, entonces ∠BOY es (SSC CGL 1st Sit.2012)
(a) 70 °
(b) 80 °
(c) 72 °
(d) 68 °

13. En la siguiente figura, O es el centro del círculo y XO es perpendicular a OY. Si el área del triángulo XOY es 32, entonces el área del círculo es (SSC CGL 1st Sit.2012)

(a) 64 π
(b) 256 π
(c) 16 π
(d) 32 π

14. El lado BC de ∆ ABC se convierte en D. Si ∠ACD = 108 ° y ∠B = 1/2 ∠A entonces ∠A es 2 (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(a) 36 °
(b) 72 °
(c) 108 °
(d) 59 °

15. Dos círculos de radios de 4 cm y 9 cm respectivamente se tocan externamente en un punto y una tangente común los toca en los puntos P y Q respectivamente. Ellos el área de un cuadrado con un lado PQ, es (SSC CGL 1st Sit.2012)
(a) 97 cm cuadrados
(b) 194 cm cuadrados
(c) 72 cm cuadrados
(d) 144 cm cuadrados

16. Se dibujan dos tangentes desde un punto P a un círculo en A y B. 0 es el centro del círculo. Si ∠AOP = 60 °, entonces ∠ APB es (SSC CGL 1st Sit.2012)
(a) 120 °
(b) 90 °
(c) 60 °
(d) 30 °

17. Si cada ángulo interior es el doble de cada ángulo exterior de un polígono regular con n lados, entonces el valor de n es (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(a) 8
(b) 10
(c) 5
(d) 6

18. Si la longitud del lado PQ del rombo PQRS es 6 cm y ∠PQR = 120 °, entonces la longitud de QS, en cm, es
(SSC CGL 1st Sit.2012)
(a) 4
(b) 6
(c) 3
(d) 5

19. El ángulo formado por la manecilla de la hora y el minutero de un reloj a las 2:15 p.m. es (SSC CGL 1st Sit.2012)
(a) 27 °
(b) 45 °
(c) 22
(d) 30 °

20. Dos lados de un triángulo miden 4 cm y 10 cm de longitud. Si la longitud del tercer lado es & # 8216a & # 8217 cm. luego (SSC CGL 1st Sit.2012)
(a) a & gt5
(b) 6≤a≤12
(c) a & lt5
(d) 6 & lta & lt 14

21. En ∆ABC, AD es la mediana y AD = 1/2 BC. Si ∠BAD = 30 °, entonces la medida de ∠ACB es (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(a) 90 °
(b) 45 °
(c) 30 °
(d) 60 °

22. El perímetro de un triángulo rectángulo isósceles es 2p unidad. El área del mismo triángulo es: (SSC CGL 2nd Sit.2012)

23. ∆ABC y ∆DEF son similares y sus áreas son respectivamente 64 cm 2 y 121 cm 2. Si EF = 15,4 cm, BC es: (SSC CGL 2nd Sit.2012)
(a) 12,3 cm
(b) 11,2 cm
(c) 12,1 an
(d) 11,0 cm

24. Si G es el centroide de ∆ABC y AG = BC, entonces ∠BGC es: (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(a) 75 °
(b) 45 °
(c) 90 °
(d) 60 °

25. Al disminuir 15 ° de cada ángulo de un triángulo, las razones de sus ángulos son 2: 3: 5. La medida en radianes del ángulo mayor es: (SSC CGL 2nd Sit. 2012)

26. O es el centro circunferencial del triángulo ABC con un radio circunferencial de 13 cm. Sea BC = 24 cm y OD es perpendicular a BC. Entonces la duración del OD es: (SSC CGL 2nd Sit.2012)
(a) 7 cm
(b) 3 cm
(c) 4 cm
(d) 5 en

27. D y E son los puntos medios de AB y AC de ∆ABC BC se produce en cualquier punto P DE, DP y EP se unen. Entonces, (SSC CGL 2nd Sit.2012)

28. La longitud de la cuerda común de dos círculos de radios de 15 cm y 20 cm cuyos centros están separados por 25 cm es (en cm): (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(a) 20
(b) 24
(c) 25
(d) 15

29. AB es un diámetro de un círculo con centro O. CD es una cuerda igual al radio del círculo. AC y BD se producen para encontrarse en P. Entonces, la medida de ∠APB es: (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(a) 120 °
(b) 30 °
(c) 60 °
(d) 90 °

30. R y r son el radio de dos círculos (R & gt r). Si la distancia entre el centro de los dos círculos es d, entonces la longitud de la tangente común de dos círculos es: (SSC CGL 2nd Sit. 2012)

31. P es un punto fuera de un círculo y está a 13 cm de su centro. Una secante extraída del punto P interseca el círculo en los puntos A y B de tal manera que PA = 9 cm y AB = 7 cm. El radio del círculo es: (SSC CGL 2nd Sit.2012)
(a) 5,5 en
(b) 5 cm
(c) 4 cm
(d) 4,5 cm

32. Los perímetros de dos triángulos similares ∆ABC y ∆PQR son 36 cm y 24 cm respectivamente. Si PQ = 10 cm, AB es: (SSC CGL 2nd Sit.2012)
(a) 25 cm
(b) 10 cm
(c) 15 cm
(d) 20 cm

33. En un triángulo ABC de ángulo obtuso, ∠A es el ángulo obtuso y O es el ortocentro. Si ∠BOC = 54 °, entonces ∠BAC es (SSC CGL 1st Sit.2012)
(a) 108 °
(b) 126 °
(c) 136 °
(d) 116 °

34. Si la razón de las áreas de dos triángulos similares es 9:16, entonces la razón de sus lados correspondientes es (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(a) 3: 5
(b) 3: 4
(c) 4: 5
(d) 4: 3

35. Sean BE y CF las dos medianas de a ∆ABC y G su intersección. También deje que EF corte AG en O. Entonces AO: OG es (SSC CGL 1st Sit 2012)
(a) 1: 1
(b) 1: 2
(c) 2: 1
(d) 3: 1

36. Si S es el circuncentro de ∆ABC y ∠A = 50 °, entonces el valor de ∠BCS es (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(a) 20 °
(b) 40 °
(c) 60 °
(d) 80 °

37. AC y BC son dos cuerdas iguales de un círculo. BA se produce en cualquier punto P y CP, cuando se une corta el círculo en T. Entonces (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(a) CT: TP = AB: CA
(b) CT: TP = CA: AB
(c) CT: CB = CA: CP
(d) CT: CB = CP: CA

38. PQ es una tangente común directa de dos círculos de radio r1 y r2 tocándose externamente en A. Entonces el valor de

39. BC es la cuerda de un círculo con centro O. A es un punto en el arco mayor BC como se muestra en la figura anterior. ¿Cuál es el valor de ∠BAC + ∠OBC? (SSC CGL 1st Sit 2012)

(a) 120 °
(b) 60 °
(c) 90 °
(d) 180 °

40. Dos círculos con radios de 5 cm y 8 cm se tocan externamente en un punto A. Si una línea recta que pasa por el punto A corta los círculos en los puntos P y Q respectivamente, entonces AP: AQ es (SSC CGL 1st Sit 2012)
(a) 8: 5
(b) 5: 8
(c) 3: 4
(d) 4: 5

41. Si I es el centro de ∆ABC y ∠A = 60 °, entonces el valor de ∠BIC es (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(a) 100 °
(b) 120 °
(c) 150 °
(d) 110 °

42. Las bisectrices externas de ∠B y ∠C de ∆ABC se encuentran en el punto P. Si ∠BAC = 80 °, entonces ∠BPC es (SSC CGL 1st Sit 2012)
(a) 50 °
(b) 40 °
(c) 80 °
(d) 100 °

43. Cuando un péndulo de 50 cm de longitud oscila, produce un arco de 16 cm. El ángulo así formado en grados es (aprox.) (SSC CGL 1st Sit 2012)
(a) 18 ° 25 y # 8242
(b) 18 ° 35 y # 8242
(c) 18 ° 20 y # 8242
(d) 18 ° 08 y # 8242

44. La curva de una vía férrea se trazará en un círculo. ¿Qué radio debe usarse si la pista va a cambiar de dirección en 25 ° en una distancia de 40 metros? (SSC CGL 1st Sit 2012)
(a) 91,64 metros
(b) 90,46 metros
(c) 89,64 metros
(d) 93,64 metros

45. El radio de la circunferencia del triángulo formado por el eje x, el eje y y 4x + 3y = 12 es (SSC CGL 2nd Sit 2012)
(a) 2 unidad
(b) 2,5 unidad
(c) 3 unidad
(d) 4 unidad

46. ​​La longitud del radio circunferencial de un triángulo cuyos lados miden 12 cm, 16 cm y 20 cm es (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(a) 15 cm
(b) 10 cm
(c) 18 cm
(d) 16 cm

47. Si D es el punto medio del lado BC de ∆ABC y el área de ∆ABD es 16 cm2, entonces el área de ∆ABC es (SSC CGL 2nd Sit 2012)
(a) 16 cm2
(b) 24 cm2
(c) 32 cm2
(d) 48 cm2

48. ABC es un triángulo. Las medianas CD y BE se cruzan entre sí en O. Entonces A ODE: ∆ABC es (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(a) 1: 3
(b) 1: 4
(c) 1: 6
(d) 1:12

49. Si P, R, Tara el área de un paralelogramo, un rombo y un triángulo que se encuentran en la misma base y entre los mismos paralelos, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? (SSC CGL 2nd Sit.2012)
(a) R & ltP & ltT
(b) P & gtR & gtT
(c) R = P = T
(d) R = P = 2T

50. AB es un diámetro de la circunferencia de ∆APB N es el pie de la perpendicular trazada desde el punto P en AB. Si AP = 8 cm y BP = 6 cm, entonces la longitud de BN es (SSC CGL 2nd Sit.2012)
(a) 3,6 cm
(b) 3 cm
(c) 3,4 cm
(d) 3,5 cm

51. Dos círculos con el mismo radio r se cruzan y uno pasa por el centro del otro. Entonces la longitud del acorde común es (SSC CGL 2nd Sit.2012)

52. La bisectriz de ∠A de ∆ABC corta BC en D y la circunferencia del triángulo en E. Entonces (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(a) AB: AC = BD: DC
(b) AD: AC = AE: AB
(c) AB: AD = AC: AE
(d) AB: AD = AE: AC

53. Dos círculos se cruzan en P y Q. PA y PB son dos diámetros. Entonces ∠AQB es (SSC CGL 2nd Sit.2012)
(a) 120 °
(b) 135 °
(c) 160 °
(d) 180 °

54. O es el centro del círculo que pasa por los puntos A, B y C de modo que ∠BAO = 30 °, ∠BCO = 40 ° y ∠AOC = x °. Cual es el valor de x ? (SSC CGL 2nd Sit.2012)
(a) 70 °
(b) 140 °
(c) 210 °
(d) 280 °

55. A y B son centros de los dos círculos cuyos radios son 5 cm y 2 cm respectivamente. Las tangentes comunes directas a los círculos se encuentran con AB extendido en P. Entonces P divide a AB. (SSC CGL 2nd Sit.2012)
(a) externamente en la proporción 5: 2
(b) internamente en la proporción 2: 5
(C) . internamente en la proporción 5: 2
(d) externamente en la proporción 7: 2

56. Una rueda gira 3,5 veces en un segundo. ¿Qué tiempo (en segundos) tarda la rueda en girar 55 radianes de ángulo? (SSC CGL 2nd Sit.2012)
(a) 1,5
(b) 2,5
(c) 3,5
(d) 4.5

57. Si el área de un triángulo equilátero es A y la altura b, entonces

58. El triángulo PQR circunscribe un círculo con centro O y radio rcm tal que ∠PQR = 90 °. Si PQ = 3 cm, QR = 4 cm, entonces el valor de r es: (SSC Sub. Ins.2013)
(a) 2
(b) 1,5
(c) 2.5
(d) 1

59. En la siguiente figura. AB sea el diámetro de un círculo cuyo centro es O. Si ∠AOE = 150 °. ∠DAO = 51 ° entonces la medida de∠CBE es: (SSC Sub. Ins.2013)

60. Las áreas de dos triángulos similares ABC y DEF son 20 cm 2 y 45 cm 2 respectivamente. Si AB = 5 cm. entonces DE es igual a: (SSC Sub. Ins. 2013)
(a) 6,5 cm
(b) 7,5 cm
(c) 8,5 cm
(d) 5,5 cm

61. En un triángulo ABC, BC se produce en D de modo que CD = AC. Si ∠BAD = 111 ° y ∠ ACB = 80 °, entonces la medida de ∠ABC es: (SSC Sub. Ins.2013)
(a) 31 °
(b) 33 °
(c) 35 °
(d) 29 °

62. En∆ABC ∠A + ∠B = 145 ° y ∠C + 2∠B = 180 °. Indique cuál de las siguientes relaciones es verdadera? (SSC Sub. Ins. 2013)
(a) CA = AB
(b) CA & ltAB
(c) BC & gtAB
(d) CA & gtAB

63. Desde un punto P, dos tangentes PA y PB se dibujan en un círculo con centro O. Si OP es igual al diámetro del círculo, entonces ∠APB es (SSC CHSL 2013)
(a) 60 °
(b) 45 °
(c) 90 °
(d) 30 °

64. Se dibuja una cuerda de 12 cm de largo en un círculo de 20 cm de diámetro. La distancia de la cuerda desde el centro es (SSG CHSL 2013)
(a) 16 cm
(b) 8 cm
(c) 6 cm
(d) 10 cm

65. 360 cm2 y 250 cm2 son las áreas de dos triángulos similares. Si la longitud de uno de los lados del primer triángulo es de 8 cm, entonces la longitud del lado correspondiente del segundo triángulo es (SSC CHSL 2013)

66. Si en ∆ABC, ∠ABC = 5∠ACB y ∠ BAC = 3 ∠ACB, entonces ∠ABC = (SSC CHSL 2013)
(a) 120 °
(b) 130 °
(c) 80 °
(d) 100 °

67. Las perpendiculares, dibujadas desde los vértices hasta los lados opuestos de un triángulo, se encuentran en el punto cuyo nombre es (SSC CHSL 2013)
(a) ortocentro
(b) incentivo
(c) circuncentro
(d) centroide

68. Si ∆ABC es similar a ADEF tal que BC = 3 cm, EF = 4 cm y un área de ∆ABC = 54 cm2, entonces el área de ADEF es: (SSC CGL 1st Sit 2013)
(a) 54 cm2
(b) 66 cm2
(c) 78 cm2
(d) 96 cm2

69. Un acorde AB de un círculo C1 de radio (√3 +1) cm toca un círculo C2 que es concéntrico a C1. Si el radio de C2 es

70. En un triángulo ABC, AB = AC, ∠BAC = 40 °. Entonces el ángulo externo en B es: (SSC CGL 1st Sit 2013)
(a) 80 °
(b) 90 °
(c) 70 °
(d) 110 °

71. Una cuerda de 30 cm de longitud está a una distancia de 8 cm del centro de un círculo. El radio del círculo es: (SSC CGL 1st Sit.2013)
(a) 19
(b) 17
(c) 23
(d) 21

72. Si ABCD es un rectángulo y P, Q, R, S son los puntos medios

73. P y Q son dos puntos en un círculo con centro en O. R es un punto en el arco menor del círculo, entre los puntos P y Q. Las tangentes al círculo en los puntos P y Q se encuentran entre sí en el punto S. Si ∠PSQ = 20 °, ∠PRQ =? (SSC CGL 1st Sit 2013)
(a) 100 °
(b) 80 °
(c) 200 °
(d) 160 °

74. AB y CD son dos cuerdas paralelas de un círculo tal que AB = 10 cm y CD = 24 cm. Si los acordes están en los lados opuestos del centro y la distancia entre ellos es de 17 cm, entonces el radio del círculo es: (SSC CGL 1st Sit 2013)
(a) 10cm
(b) 11cm
(c) 12 cm
(d) 13 cm

75. ABC es un triángulo isósceles tal que AB = AC y ∠B = 35 °. AD es la mediana de la base BC. Entonces ∠BAD es: (SSC CGL 1st Sit 2013)
(a) 55 °
(b) 70 °
(c) 35 °
(d) 110 °

76. ABCD es un trapecio cíclico con AB || DC y AB = y diámetro del círculo. Si ∠CAB = 30 ° entonces ∠ADC es (SSC CGL 2nd Sit.2013)
(a) 60 °
(b) 120 °
(c) 150 °
(d) 30 °

77. ABC es un triángulo. Las bisectrices del ángulo interno ∠B y del ángulo externo ∠C se intersecan enD. Si∠BDC = 50 °, entonces ∠A es (SSC CGL 2nd Sit.2013)
(a) 100 °
(b) 90 °
(c) 120 °
(d) 60 °

78. AB es la cuerda de un círculo con centro O y DOC es un segmento de línea que se origina en un punto D en el círculo y se interseca, AB producido en C tal que BC = OD. Si ∠BCD = 20 °, entonces ∠AOD =? (SSC CGL 2nd Sit.2013)
(a) 20 °
(b) 30 °
(c) 40 °
(d) 60 °

79. En un círculo de 17 cm de radio, se dibujan dos cuerdas paralelas de 30 cm y 16 cm de longitud. Si ambos acordes están en el mismo lado del centro, entonces la distancia entre los acordes es (SSC CGL 2nd Sit.2013)
(a) 9 cm
(b) 7 cm
(c) 23 cm
(d) 11cm

80. ABC es un triángulo rectángulo, siendo B el ángulo recto. Los puntos medios de BC y AC son respectivamente B & # 8217 y A & # 8217. La razón del área del cuadrilátero AA & # 8217 B & # 8217B al área del triángulo ABC es (SSC CGL 2nd Sit.2013)
(a) 1: 2
(b) 2: 3
(c) 3: 4
(re. Ninguna de las anteriores

81. En un triángulo ABC, el lado BC se extiende hasta D. De manera que CD = AC, si ∠BAD = 109 ° y ∠ACB = 72 °, entonces el valor de ∠ABC es (SSC CGL 2nd Sit. 2013)
(a) 35 °
(b) 60 °
(c) 40 °
(d) 45 °

82. Dos círculos se tocan internamente. Sus radios son de 2 cm y 3 cm. La cuerda más grande del círculo mayor que está fuera del círculo interior de longitud.

83. ABCD es un cuadrilátero cíclico AB y DC se producen para encontrarse en P. Si ∠ADC = 70 ° y ∠DAB = 60 °, entonces ∠PBC + ∠PCB es (SSC CGL 2nd sit. 2013)
(a) 130 °
(b) 150 °
(c) 155 °
(d) 180 °

84. Desde un punto P que está a una distancia de 13 cm del centro O de un círculo de 5 cm de radio, en el mismo plano, se dibujan un par de tangentes PQ y PR al círculo. El área del cuadrilátero PQOR es (SSC CGL 2nd Sit.2013)
(a) 65 cm2
(b) 60 cm2
(c) 30 cm2
(d) 90 cm2

85. Si los arcos de longitud cuadrada en dos círculos subtienden ángulos de 60 ° y 75 ° en sus centros, la relación de sus radios es (SSC CGL 2nd Sit. 2013)
(a) 3: 4
(b) 4: 5
(c) 5: 4
(d) 3: 5

86. N es el pie de la perpendicular desde un punto P de un círculo con un radio de 7 cm, en un diámetro AB del círculo. Si la longitud de la cuerda PB es de 12 cm, la distancia del punto N al punto B es (SSC CGL 1st Sit.2013)

87.

88. Si G es el centroide de ∆ABC y ∆ABC = 48cm2, entonces el área de ∆BGC es (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(a) 16 cm2
(b) 24 cm2
(c) 32 cm2
(d) 8 cm2

89. Las diagonales AC y BD de un cuadrilátero cíclico ABCD se cruzan en el punto P. Entonces, siempre es cierto que (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(a) AP.BP = CP.DP
(b) AP.CD = AB.CP
(c) BP. AB = CD. CP
(d) AP. CP = BP. DP

90. Si O es el circuncentro de un triángulo PQR y ∠QOR = 110 °, ∠OPR = 25 °, entonces la medida de ∠PRQ es (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(a) 55 °
(b) 60 °
(c) 65 °
(d) 50 °

91. Un palo vertical de 12 cm de largo proyecta una sombra de 8 cm de largo en el suelo. Al mismo tiempo, una torre proyecta una sombra de 40 m de largo en el suelo. La altura de la torre es (SSC CGL 1st Sit.2013)
(a) 65 m
(b) 70 m
(c) 72 m
(d) 60 m

92. A, B, C, D son cuatro puntos en un círculo. AC y BD se cruzan en un punto E tal que ∠BEC = 130 ° y ∠ECD = 20 °. ∠BAC = 130 ° y ∠ECD = 20 °. ∠BAC es (SSC CGL 1st Sit.2013)
(a) 100 °
(b) 110 °
(c) 120 °
(d) 90 °

93. En un triángulo, si tres altitudes son iguales, entonces el triángulo es (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(a) Derecha
(b) Isoceles
(c) Obtuso
(d) Equilátero

94. A, B, P son tres puntos en un círculo que tiene el centro O. Si ∠OAP = 25 ° y ∠OBP = 35 °, entonces la medida de ∠AOB es (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(a) 120 °
(b) 60 °
(c) 75 °
(d) 150 °

95.

96. La longitud de la tangente (hasta el punto de contacto) trazada desde un punto externo P a un círculo de 5 cm de radio es 12 cm. La distancia de P desde el centro del círculo es (SSC CGL Ist. Sitt 2013)
(a) 11cm
(b) 12cm
(c) 13 cm
(d) 14 cm

97. ABCD es un cuadrilátero cíclico, AB es un diámetro del círculo. Si ∠ACD = 50 °, el valor de ∠BAD es (SSC CGL 1st Sit.2013)
(a) 30 °
(b) 40 °
(c) 50 °
(d) 60 °

98. Dos círculos de igual radikouch externamente en un punto P. Desde un punto T en la tangente en P, las tangentes TQ y TR se dibujan a los círculos con puntos de contacto Q y R respectivamente. La relación de TQ y TR es (SSC CGL 1st Sit.2013)
(a) TQ & ltTR
(b) TQ y gtTR
(c) TQ = 2TR
(d) TQ = TR

99. Cuando dos círculos se tocan externamente, el número de tangentes comunes es (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(a) 4
(b) 3
(c) 2
(d) 1

100. D y E son los puntos medios de AB y AC de ∆ABC. Si ∠A = 80 °, ∠C = 35 °, entonces ∠EDB es igual a (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(a) 100 °
(b) 115 °
(c) 120 °
(d) 125 °

101. Si el radio interno de un triángulo con un perímetro de 32 cm es de 6 cm, entonces el área del triángulo en centímetros cuadrados es (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(a) 48
(b) 64
(c) 100
(d) 96

102. La suma de tres altitudes de un triángulo es (SSCCGL 1st Sit. 2013)
(a) igual a la suma de tres lados
(b) menor que la suma de los lados
(c) mayor que la suma de los lados
(d) el doble de la suma de los lados

103. En ∆ABC, ∠A + ∠B = 65 °, ∠B + ∠C = 140 °, luego encuentre ∠B. (SSC CGL 1st Sit.2013)
(a) 40 °
(b) 25 °
(c) 35 °
(d) 20 °

104. La longitud de la tangente trazada a un círculo de radio de 4 cm desde un punto a 5 cm del centro del círculo es (SSC CGL 1st Sit 2013)
(a) 3 cm
(b) 4√2 en
(c) 5√2 cm
(d) 3√2 una

105. Un cuadrilátero cíclico ABCD es tal que AB = BC, AD = DC, AC ⊥ BD, ∠CAD = θ. Entonces el ángulo ∠ABC = (SSC CGL 1st Sit 2013)

106. La altura de un triángulo equilátero es de 15 cm. El área del triángulo es (SSC CGL 1st Sit.2013)
(a) 50√3 cm cuadrados
(b) 70√3 cm cuadrados.
(c) 75√3 cm cuadrados
(d) 150√3 cm cuadrados

107. Dos cuerdas paralelas de un círculo, de 20 cm de diámetro, que se encuentran en los lados opuestos del centro, tienen una longitud de 12 cm y 16 cm. La distancia entre los acordes es (SSC CGL 1st Sit.2013)
(a) 16 cm
(b) 24 cm
(c) 14 cm
(d) 20 cm

108. En ∆ABC, DE || C.A. D y E son dos puntos en AB y CB respectivamente. Si AB = 10 cm y AD 24 cm, entonces BE: CE es (SSC CGL 1st Sit 2013)
(a) 2: 3
(b) 2: 5
(c) 5: 2
(d) 3: 2

109. A, B y C son los tres puntos de un círculo de manera que los ángulos subtendidos por las cuerdas AB y AC en el centro O son 90 ° y 110 ° respectivamente. ∠BAC es igual a (SSC CGL 1st Sit.2013)
(a) 70 °
(b) 80 °
(c) 90 °
(d) 100 °

110.

111. En un ∆ABC, AD, BE y CF son tres medianas. El perímetro de ∆ABC es siempre (SSC Sub. Ins. 2014)

112.

113. Dos círculos con radios de 25 cm y 9 cm se tocan externamente. La longitud de la tangente común directa es (SSC Sub. Ins. 2014)
(a) 34 cm
(b) 30 cm
(c) 36 cm
(d) 32 cm

114. SiAB = 5 cm, AC = 12 y AB ⊥ AC entonces el radio del círculo circunferencial de ∆ABC es (SSC Sub. Ins. 2014)
(a) 6,5 cm
(b) 6 cm
(c) 5 cm
(d) 7 cm

115. La suma de los ángulos interiores de un polígono es 1444 °. El número de lados del polígono es (SSC CHSL 2014)
(a) 6
(b) 9
(c) 10
(d) 12

116. En ∆ABC, D y E son dos puntos en los lados AB y AC

117. Los perímetros de dos triángulos similares ∆ABC y APQR son 3 6 cm y 24 cm respectivamente. Si PQ = 10 cm, el AB es (SSC CHSL 2014)
(a) 15 cm
(b) 12 cm
(c) 14 cm
(d) 26 cm

118. Si los lados de un triángulo rectángulo son tres enteros consecutivos, entonces la longitud del lado más pequeño es (SSC CHSL 2014)
(a) 3 unidades
(b) 2 unidades
(c) 4 unidades
(d) 5 unidades

119. Dos círculos se cruzan en los puntos A y B. Una línea recta paralela a AB interseca los círculos en C, D, E y F. Si CD = 4.5 cm, entonces la medida de EF es (SSC CHSL 2014)
(a) 1,50 cm
(b) 2,25 cm
(c) 4,50 cm
(d) 9,00 cm

120. En un cuadrilátero ABCD, las bisectrices de ∠A y ∠B se encuentran en O.Si ∠C = 70 ° y ∠D = 130 °, entonces la medida de ∠AOB es (SSC CGL 1st Sit. 2014)
(a) 40 °
(b) 60 °
(c) 80 °
(d) 100 °

121. En ∆ABC, E y D son puntos en los lados AB y AC respectivamente tales que ABC = ∠ADE. Si AE = 3 cm, AD = 2 cm y EB = 2 cm, entonces la longitud de DC es (SSC CGL 1st Sit.2014)
(a) 4 cm
(b) 4,5 cm
(c) 5,0 cm
(d) 5,5 cm

122. En un círculo con centro O, AB es una cuerda y AP es una tangente al círculo. Si ∠AOB = 140 °, entonces la medida de ∠PAB es (SSC CGL 1st Sit.2014)
(a) 35 °
(b) 55 °
(c) 70 °
(d) 75 °

123. En ∆ABC, ∠A & lt∠B. La altitud a la base divide el vértice

124. Si O es el centro de ∆ABC si ∠BOC = 120 °, entonces la medida de ∠BAC es (SSC CGL 1st Sit. 2014)
(a) 30 °
(b) 60 °
(c) 150 °
(d) 75 °

125. Dos cuerdas paralelas de un círculo de 20 cm de diámetro tienen 12 cm y 16 cm de largo. Si los acordes están en el mismo lado del centro, entonces la distancia entre ellos es (SSC CGL 1st Sit.2014)
(a) 28 cm
(b) 2 cm
(c) 4 cm
(d) 8 cm

126. El ángulo interior de un polígono regular es 140 °. El número de lados de ese polígono es (SSC CGL 1st Sit.2014)
(a) 9
(b) 8
(c) 7
(d) 6

127. Si dos círculos de radios de 9 cm y 4 cm se tocan externamente, entonces la longitud de una tangente común es (SSC CGL 1st Sit. 2014)
(a) 5 cm
(b) 7 cm
(c) 8 cm
(d) 12 cm

128. Si en un triángulo ABC, BE y CF son dos medianas perpendiculares entre sí y si AB = 19 cm y AC = 22 cm, entonces la longitud de BC es: (SSC Sub. Ins. 2015)
(a) 20,5 cm
(b) 19,5 cm
(c) 13 cm
(d) 26 cm

129. Dos círculos de radios de 10 cm y 8 cm se cruzan y la longitud de la cuerda común es de 12 cm. Entonces la distancia entre sus centros es: (SSC Sub. Ins. 2015)
(a) 15 cm
(b) 10 cm
(c) 8 cm
(d) 13,3 cm

130. Dos triángulos isósceles tienen ángulos verticales iguales y sus áreas están en la proporción 9:16. Entonces, la relación de sus alturas correspondientes es: (SSC Sub. Ins. 2015)
(a) 4.5: 8
(b) 8: 4.5
(c) 3: 4
(d) 4: 3

131. Los perímetros de dos triángulos similares son de 30 cm y 20 cm respectivamente. Si un lado del primer triángulo mide 9 cm. Determine el lado correspondiente del segundo triángulo: (SSC Sub. Ins. 2015)
(a) 15 cm
(b) 5 cm
(c) 6 cm
(d) 13,5 cm

132. La diagonal de un campo con forma de cuadrilátero es de 24 my las perpendiculares que se dejan caer sobre él desde los vértices opuestos restantes son de 8 my 13 m. El área del campo es: (SSC Sub. Ins. 2015)
(a) 252 m 2
(b) 1152 m 2
(c) 96 m 2
(d) 156 m 2

133. En ∆ABC, ∠B = 60 ° y ∠C = 40 ° AD y AE son respectivamente la bisectriz de ∠A y perpendicular a BC. La medida de ∠EAD es: (SSC CHSL 2015)
(a) 9 °
(b) 11 °
(c) 12 °
(d) 10 °

134. ABCD es un cuadrado. Dibuja un triángulo QBC en el lado BC considerando BC como base y dibuja un triángulo PAC en AC como base tal que ∆QBC

∆PAC.

135. La distancia entre los centros de dos círculos de radio de 3 cm y 8 cm es 13 cm. Si los puntos de contacto de una tangente común directa a los círculos son P y Q, entonces la longitud del segmento de gravamen PQ es: (SSC CHSL 2015)
(a) 11,9 cm
(b) 11,5 cm
(c) 12 cm
(d) 11,58 cm

136. En ∆ABC, AB = BC = K, AC = √2 K, entonces ∆ABC es a: (SSC CHSL 2015)
(a) Triángulo isósceles
(b) Triángulo rectángulo
(c) Triángulo equilátero
(d) Triángulo isósceles recto

137. Dos círculos de radios de 5 cm y 3 cm se tocan externamente, entonces la relación en la que la tangente común directa a los círculos divide externamente la línea que une los centros de los círculos es: (SSC CHSL 2015)
(a) 2,5: 1,5
(b) 1,5: 2,5
(c) 3: 5
(d) 5: 3

138. En ∆ABC, una línea que pasa por A corta el lado BC en D de manera que BD: DC = 4: 5. Si el área de ∆ABD = 60 cm2, entonces el área de ∆ADC es (SSC CGL 1st Sit.2015)
(a) 50 cm 2
(b) 60 cm 2
(c) 75 cm 2
(d) 90 cm 2

139. Se traza una tangente a un círculo de 6 cm de radio desde un punto situado a una distancia de 10 cm del centro del círculo. La longitud de la tangente será (SSC CGL 1st Sit.2015)
(a) 4 cm
(b) 5 en
(c) 8 cm
(d) 7 cm

140. Dos postes de 7 my 12 m de altura se colocan sobre un suelo plano. Si la distancia entre sus pies es de 12 m, la distancia entre la parte superior será (SSC CGL 1st Sit.2015)
(a) 13m
(b) 19m
(c) 17m
(d) 15m

141. La medida de un ángulo cuyo suplemento es tres veces mayor que su complemento es (SSC CGL 1st Sit. 2015)
(a) 30 °
(b) 45 °
(c) 60 °
(d) 75 °

142. Los lados de un triángulo que tienen un área de 7776 cm cuadrados están en la proporción 3: 4: 5. El perímetro del triángulo es (SSC CGL 1st Sit.2015)
(a) 400cm
(b) 412cm
(c) 424 cm
(d) 432 cm

143. Dos cuerdas de longitud a unidad y b unidad de un círculo forman ángulos de 60 ° y 90 ° en el centro de un círculo respectivamente, entonces la relación correcta es (SSC CGL 1st Sit. 2015)

144. En un paralelogramo PQRS, el ángulo P es cuatro veces el ángulo Q, entonces la medida de ∠R es (SSC CGL 1st Sit. 2015)
(a) 36 °
(b) 72 °
(c) 130 °
(d) 144 °

145. Si un reloj se puso en marcha al mediodía, entonces el ángulo girado por la manecilla de las horas a las 3.45 PM es (SSC CGL 1st Sit. 2015)

146. Sean C y C2 los círculos inscritos y circunscritos de un triángulo con lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm, entonces el área de C1 al área de C2 es (SSC CGL 1st Sit. 2015)

147. Si los tres ángulos de un triángulo son:

(a) escaleno
(b) isósceles
(c) en ángulo recto
(d) equilátero

148. Si el número de vértices, aristas y caras de un paralelopípedo rectangular se indican mediante v, eyf respectivamente, el valor de (v & # 8211 e + f) es (SSC CGL 1st Sit. 2015)
(a) 4
(b) 2
(c) 1
(d) 0

149. Si la altitud de un triángulo equilátero es 12√3 cm, entonces su área sería: (SSC CGL 1st Sit. 2015)

150. Las bisectrices internas de ∠Q y ∠R de APQR se cruzan en O.Si ∠ROQ = 96 °, entonces el valor de ∠RPQ es: (SSC CGL 1st Sit. 2015)
(a) 12 °
(b) 6 °
(c) 36 °
(d) 24 °

151. Si la medida de tres ángulos de un triángulo está en la proporción 2: 3: 5, entonces el triángulo es: (SSC CGL 1st Sit. 2015)
(a) equilátero
(b) isocsceles
(c) Ángulo obtuso
(d) en ángulo recto

152. G es el centroide de ∆ABC. Las medianas AD y BE se cruzan en ángulos rectos. Si las longitudes de AD y BE son 9 cm y 12 cm respectivamente, entonces la longitud de AB (en cm) es? (SSC CGL 1st Sit.2015)
(a) 10
(b) 10,5
(c) 9.5
(d) 11

153. Si una persona viaja desde un punto L hacia el este durante 12 km y luego viaja 5 km hacia el norte y llega a un punto M, entonces la distancia más corta de L a M es: (SSC CGL 1st Sit. 2015)
(a) 14
(b) 12
(c) 17
(d) 13

154. Si D, E y F son los puntos medios de BC, CA y AB respectivamente del ∆ABC, entonces la relación entre el área del paralelogramo DEFB y el área del trapecio CAFD es: (SSC CGL 1st Sit. 2015)
(a) 1: 3
(b) 1: 2
(c) 3: 4
(d) 2: 3

155. O es el ortocentro de ∆ABC, y si ∠BOC = 110 ° entonces ∠BAC será (SSC CGL 1st Sit. 2016)
(a) 110 °
(b) 70 °
(c) 100 °
(d) 90 °

156. BE y CF son dos altitudes de un triángulo ABC. Si AB = 6 cm, AC = 5 cm y CF = 4 cm, entonces la longitud de BE (SSC CGL 1st Sit.2016)
(a) 4,8 cm
(b) 7,5 cm
(c) 3,33 cm
(d) 5,5 cm

157. En A ABC, BC se extiende hasta D (SSC CGL 1st Sit. 2016)

(a) 60 °
(b) 75 °
(c) 80 °
(d) 90 °

158. O es el centro de un círculo y AB es la tangente que toca en B. Si OB = 3 cm. y OA = 5 cm, entonces la medida de AB en cm es (SSC CGL 1st Sit.2016)
(a) √34
(b) 2
(c) 8
(d) 4

159. X e Y son los puntos medios de los lados AB y AC de un triángulo ABC. Si BC + XY = 12 unidades, entonces BC & # 8211 XY es (SSC CGL 1st Sit.2016)
(a) 8 unidades
(b) 4 unidades
(c) 6 unidades
(d) 2 unidades

160. En ∆PQR, L y M son dos puntos en los lados PQ y PR respectivamente de modo que LM || QR. Si PL = 2cm LQ = 6cm y PM = 1.5 cm, entonces MR en cm es (SSC CGL 1st Sit.2016)
(a) 0,5
(b) 4.5
(c) 9
(d) 8

161. La longitud del radio de un círculo con centro O es 5 cm y la longitud de la cuerda AB es 8 cm. La distancia de la cuerda AB desde el punto O es (SSC CGL 1st Sit.2016)
(a) 2cm
(b) 3cm
(c) 4 cm
(d) 15 cm

162. En un triángulo ABC, si∠A + ∠C = 140 ° y∠A + 3∠B = 180 °, entonces ∠A es igual a (SSC CGL 1st Sit. 2016)
(a) 80 °
(b) 40 °
(c) 60 °
(d) 20 °

163. Si PA y PB son dos tangentes a un círculo con centro O tal que ∠APB = 80 °. Entonces, ∠AOP =? (SSC CGL 1st Sit.2016)
(a) 40 °
(b) 50 °
(c) 60 °
(d) 70 °

164. ¿Cuál del conjunto de tres lados puede & # 8217t formar un triángulo? (SSC CGL 1st Sit.2016)
(a) 5 cm, 6 cm, 7 cm
(b) 5 cm, 8 cm, 15 cm
(c) 8 cm, 15 cm, 18 cm
(d) 6 cm, 7 cm, 11 cm

165. AB es el diámetro de un círculo con el centro O y P un punto en su circunferencia, si ∠POA = 120 °, entonces el valor de ∠PBO es: (SSC CGL 1st Sit. 2016)
(a) 30 °
(b) 60 °
(c) 50 °
(d) 40 °

166. Un arco de 30 ° en un círculo es el doble de un arco en un segundo círculo, cuyo radio es tres veces el radio del primero. Entonces los ángulos subtendidos por el arco del segundo círculo en su centro es (SSC CGL 1st Sit.2016)
(a) 3 °
(b) 4 °
(c) 5 °
(d) 6 °

167. ¿Cuál de las siguientes razones puede ser la razón de los lados de un triángulo rectángulo? (SSC CGL 1st Sit.2016)
(a) 9: 6: 3
(b) 13: 12: 5
(c) 7: 6: 5
(d) 5: 3: 2

168. El número de círculos que se pueden dibujar a través de tres puntos no colineales es (SSC CGL 1st Sit 2016)
(a) exactamente uno
(b) dos
(c) tres
(d) más de tres

169. Dos círculos se tocan internamente. El radio del círculo más pequeño es de 6 cm y la distancia entre el centro de dos círculos es de 3 cm. El radio del círculo más grande es (SSC CGL 1st Sit.2016)
(a) 7,5 cm
(b) 9 cm
(c) 8 cm
(d) 10 cm

170. PQR es un triángulo equilátero. MN se dibuja en paralelo a QR de manera que M está en PQ y N está en PR. Si PN = 6 cm, entonces la longitud de MN es (SSC CGL 1st Sit.2016)
(a) 3 cm
(b) 6 cm
(c) 12 cm
(d) 4,5 cm

171. En el triángulo ABC, ∠B AC = 50 ° y las bisectrices de ∠ABC y ∠ACB se encuentran en P. ¿Cuál es el valor (en grados) de ∠BPC? (SSC CGL2017)
(a) 100
(b) 105
(c) 115
(d) 125

172. Dos círculos del mismo radio se cruzan en P y Q.Si la longitud de la cuerda común es de 30 cm y la distancia entre los centros de los dos círculos es de 40 cm, entonces ¿cuál es el radio (en cm) de los círculos? ? (SSC CGL 2017)
(a) 25
(b) 25√2
(c) 50
(d) 50√2

173. En la figura dada, ∠QRN = 40 °, ∠PQR = 46 ° y MN es una tangente en R. ¿Cuál es el valor (en grados) de x, y y z respectivamente? (SSC CGL 2017)

(a) 40, 46, 94
(b) 40, 50, 90
(c) 46, 54, 80
(d) 50, 40, 90

174. En ∆PQR, ∠R = 54 °, la bisectriz perpendicular de PQ en S se encuentra con QR en T. Si ∠TPR = 46 °, ¿cuál es el valor (en grados) de ∠PQR? (SSC CGL 2017)
(a) 25
(b) 40
(c) 50
(d) 60

175. El perímetro de un triángulo isósceles es de 32 cm y cada uno de los lados iguales es 5/6 veces de la base. ¿Cuál es el área (en cm2) del triángulo? (SSC CGL 2017)
(a) 39
(b) 48
(c) 57
(d) 64

176. Si la longitud de cada lado de un rombo PQRS es de 8 cm y ∠PQR = 120 °, ¿cuál es la longitud (en cm) de QS? (SSC CGL 2017)
(a) 4√5
(b) 6
(c) 8
(d) 12

177. En la figura dada, ABC es un triángulo. Las bisectrices de ∠B interno y ∠C externo se intersecan en D. Si ∠BDC = 48 °, ¿cuál es el valor (en grados) de ∠A? (SSC CGL 2017)

(a) 48
(b) 96
(c) 100
(d) 114

178. En la figura dada, O es el centro del círculo y ∠DCE = 45 °. Si CD = 10√2 cm, entonces ¿cuál es la longitud (en cm) de AC? (CB = BD): (SSC CGL 2017)

(a) 14
(b) 15,5
(c) 18,5
(d) 20

179. En el triángulo ABC, se traza una línea desde el vértice A hasta un punto D en BC. Si BC = 9 cm y DC = 3 cm, ¿cuál es la razón de las áreas del triángulo ABD y el triángulo ADC respectivamente? (SSC CGL 2017)
(a) 1: 1
(b) 2: 1
(c) 3: 1
(d) 4: 1

180. PQR es un triángulo rectángulo en el que ∠R = 90 °. Si RS ⊥ PQ, ​​PR = 3 cm y RQ = 4 cm, ¿cuál es el valor de RS (en cm)? (SSC CGL 2017)
(a) 5/12
(b) 36/5
(c) 5
(d) 2,5

181. En el triángulo PQR, A es el punto de intersección de todas las altitudes y B es el punto de intersección de todas las bisectrices de los ángulos del triángulo. Si ∠PBR = 105 °, ¿cuál es el valor de ∠PAR (en grados)? (SSC CGL 2017)
(a) 60
(b) 100
(c) 105
(d) 115

182. Si hay cuatro rectas en un plano, ¿cuál no puede ser el número de puntos de intersección de estas rectas? (SSC CGL 2017)
(a) 0
(b) 5
(c) 4
(d) 7

183. En ∆ABC, ∠BAC = 90 ° y AD se dibuja perpendicular a BC. Si BD = 7 cm y CD = 28 cm, ¿cuál es la longitud (en cm) de AD? (SSC CGL 2017)
(a) 3,5
(b) 7
(c) 10,5
(d) 14

184. Una cuerda de 60 cm de longitud está a una distancia de 16 cm del centro de un círculo. ¿Cuál es el radio (en cm) del círculo? (SSC CGL 2017)
(a) 17
(b) 34
(c) 51
(d) 68

185. En la figura dada, un círculo más pequeño toca un círculo más grande en P y pasa por su centro O. PR es una cuerda de 34 cm de longitud, entonces, ¿cuál es la longitud (en cm) de PS? (SSC CGL 2017)

(a) 9
(b) 17
(c) 21
(d) 25

186. En la figura dada, ABC es un triángulo en el que, AB = 10 cm, AC = 6 cm y altitud AE = 4 cm. Si AD es el diámetro de la circunferencia circunferencial, ¿cuál es la longitud (en cm) de la circunferencia circunferencial? (SSC CGL 2017)

(a) 3
(b) 7.5
(c) 12
(d) 15

187. Hallar la suma de los ángulos interiores de un dodecágono. (SSC CHSL 2017)
(a) 1620 °
(b) 1800 °
(c) 1440 °
(d) 1260 °

188. En ∆PQR, ∠P: ∠Q: ∠R = 2: 2: 5. Se traza una línea paralela a QR que toca PQ y PR en A y B respectivamente. ¿Cuál es el valor de ∠PBA & # 8211 ∠PAB? (SSC Ins. 2017)
(a) 60
(b) 30
(c) 24
(d) 36

189. En la figura dada, O es el centro del círculo, ∠DAB = 110 ° y ∠BEC = 100 °. ¿Cuál es el valor (en grados) de ∠OCB? (SSC Ins. 2017)

(a) 5
(b) 10
(c) 15
(d) 20

190. Si ADEF tiene un ángulo recto en E, DE = 15 y ∠DFE = 60 °, ¿cuál es el valor de EF? (SSC Ins. 2017)
(a) 5√3
(b) 5
(c) 15
(d) 30

191. En la figura dada, el área del triángulo isósceles PQT es 128 cm2 y QT = PQ y PQ = 4 PS, PT || SR, entonces, ¿cuál es el área (en cm2) del cuadrilátero PTRS? (SSC Ins. 2017)

(a) 80
(a) 64
(c) 124
(d) 72

192. En la figura dada, BD pasa por el centro O, AB = 12 y AC = 8. ¿Cuál es el radio del círculo? (SSC Ins. 2017)


Códigos de cobertura

12.2 Algoritmo codicioso y buenas coberturas

El siguiente teorema muestra la existencia de buenas coberturas a través de un algoritmo codicioso semi-constructivo (vea la Sección 20.3 para temas semi-constructivos).

DejarAser un 0-1 matriz con N filas y M columnas. Suponga que cada fila contiene al menos v unos y que cada columna contiene como máximo unos. Entonces existe una N X Submatriz KCdeAcon

Prueba. En realidad, un algoritmo que genera C es presentado. Colocar Aa = UNA. Elija un conjunto máximo de Ka columnas de peso a de Aa tener soportes disjuntos por pares (Ka puede ser cero). Descartando estas columnas y todas las Alaskaa filas incidentes a uno de ellos, nos quedamos con un ka X (METROKa) matriz Aa−1. Claramente, las columnas de Aa−1 tener peso como máximo a - 1 (de lo contrario, dicha columna podría agregarse al conjunto previamente descartado, contradiciendo su maximalidad). A continuación, elimine de Aa−1 un conjunto máximo de Ka−1 columnas de peso separadas por pares a - 1 y (a − 1)Ka−1 filas de incidentes, obteniendo así un ka−1 X (METROKaKa−1) matriz Aa–2. El proceso termina después a pasos. La unión de las columnas de los conjuntos descartados es un requisito C con

Demostremos la relevancia del teorema anterior para los recubrimientos. Elige para A los puntos / esferas de la matriz de incidencia. Es decir, el 2 norte columnas de A representar puntos, los 2 norte las filas representan los centros de esferas de radio R, con un 1 en la intersección de la fila I y columna j si esfera I contiene punto j. Por lo tanto, cada fila contiene un número de 1 & # x27 igual al número de puntos en la esfera, es decir, V(n, R). Hay exactamente V(n, R) 1 & # x27s en cada columna ya que cada punto pertenece exactamente V(n, R) esferas. En este escenario, el teorema produce una semi-construcción de un código C de tamaño K intersectando todas las esferas, es decir, un R-cubrimiento (que consta aquí de vectores columna). Por (12.2.2) tenemos


13.2: Inradio del triángulo h - Matemáticas

Público objetivo: estudiantes de secundaria, estudiantes universitarios de primer y segundo año, estudiantes de la clase 11/12 en la India que se preparan para ISC / CBSE y exámenes de ingreso como el IIT-JEE, ¡cualquier otra persona que necesite este tutorial como referencia!

6. Problema: Encuentra el valor de sin -1 (sin 3 π / 5)
7. Problema: demuestre que sen -1 12/13 + cos -1 4/5 + tan -1 63/16 = π
8. Problema: Evalúe cos (Arctan 15/8 - Arcsin 7/25).
9. Problema: Resuelva tan -1 2 x + tan -1 3 x = π / 4
10. Problema: Demuestre que 2 tan -1 13 + tan -1 17 = π / 4

11. Problema: resuelve la ecuación

tan -1 x + 1x-1 + tan -1 x-1x = tan -1 (-7)

a = tan -1 x + 1x-1 = & gt tana = x + 1x-1

Dado que tan (a + b) = tanc
∴ tana + tanb1-tana.tanb = tanc
I. mi. x + 1x-1 + x-1x1-x + 1x-1.x-1x = -7
es decir, 2x2-x + 11-x = -7

Este valor hace que el lado izquierdo de la ecuación dada sea positivo, por lo que no hay ningún valor de x que satisfaga estrictamente la ecuación dada.

El valor x = 2 es una solución de la ecuación
tan -1 x + 1x-1 + tan -1 x-1x = π + tan -1 (-7)

12. Problema: Resuelva Arccos 2x - Arccos x = π / 3.
13. Problema: gráfico
i) y = cos -1 x + 1 ii) y = sin -1 (x-2)

14. Problema: demuestre que se puede usar una composición de botones de trigonometría como, sin, cos, tan, sin −1, cos −1 y tan −1, para reemplazar el botón recíproco roto en un
calculadora.
15. Problema: Se coloca una cámara en la plataforma de una piscina. Un buceador está a 18 pies por encima de la lente de la cámara. La longitud extendida del buzo es de 8 pies.

16. Problema: Si sen -1 x + (sen -1 y + sen -1 z) = π / 2, averigüe x 2 + y 2 + z 2 + 2xyz.

17. Problema: Si sen -1 (x- x22 + x34.) Cos -1 (x 2 - x42 + x64 -.) = Π / 2
18. Problema: resuelve la ecuación:

tan -1 2x + tan -1 3x = nπ + π / 4



19. Problema: ¿Qué ángulo es mayor?

A = 2tan -1 (2 2-1) y B = 3sin -1 (13) + sin -1 (35)

Solución: Observamos 2 2 - 1 ≈ 2 (1.4) - 1 = 2.8 - 1 = 1.8
Entonces 2 2-1 & gt 3 = & gt 2tan -1 (2 2-1) & gt2tan -1 3 = 2π3

B = 3 sin -1 (13) + sin -1 (35)

= sin -1 [3. 13 - 4 (13) 3] + sen -1 (35)

& lt sin -1 (32) + sin -1 (32) = 2π3 [∵2327 & lt 32 y 35 & lt 3 2]

20. Problema: suponga que una calculadora no funciona y las únicas teclas que aún funcionan son los botones sin, cos, tan, sin −1, cos −1 y tan −1. La pantalla muestra inicialmente 0. Dado cualquier número racional positivo q, demuestre que podemos hacer que q aparezca en el panel de visualización de la calculadora presionando una secuencia finita de botones. Suponga que la calculadora hace cálculos con números reales con precisión infinita y que todas las funciones están en radianes.
Solución: Como cos −1 sin θ = π2 - θ y tan (π2 - θ) = 1tanθ para 0 & lt θ & lt π2, tenemos para cualquier x & gt 0,

tan cos −1 sin tan −1 x = tan (π2 - tan −1 x) = 1x. (*)

tan cos −1 sin tan −1 cos tan −1 √ x = x + 1. (**)

Por inducción sobre el denominador de r, ahora demostramos que √ r, para cada número racional no negativo r, se puede obtener usando las operaciones

Si el denominador es 1, podemos obtener √ r, para cada entero no negativo r, mediante la aplicación repetida de √ x → x + 1. Ahora suponga que podemos obtener√ r para todos los números racionales r con denominador hasta n. En particular, podemos obtener cualquiera de

y
√ r, para cualquier r positivo de denominador exacto n + 1, se puede obtener aplicando repetidamente √ x → x + 1.
Por tanto, para cualquier número racional positivo r, podemos obtener √ r. En particular, nosotros
puede obtener q2 = q.


Ver el vídeo: Distancias desde el Circuncentro a Incentro y Excentros? Cuáles son? (Diciembre 2021).