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6: Continuidad - Qué no es y qué es - Matemáticas


  • 6.1: Una definición analítica de continuidad
    Antes de la invención del cálculo, la noción de continuidad se trataba intuitivamente, si es que se trataba. A primera vista, parece una idea muy simple basada sólidamente en nuestra experiencia del mundo real. Parados en la orilla, vemos un río fluir a nuestro lado continuamente, no por pequeños tirones. Incluso cuando el flujo puede parecer al principio discontinuo, como cuando cae precipitadamente sobre un acantilado, un examen más detenido muestra que en realidad no lo es. A medida que el agua se acerca al cli ff, se acelera.
  • 6.2: Secuencias y continuidad
    Examinaremos una forma alternativa de demostrar que la función no es continua en a ≠ 0 observando la relación entre nuestras definiciones de convergencia y continuidad. En realidad, las dos ideas están estrechamente relacionadas, como lo ilustra el siguiente teorema muy útil.
  • 6.3: La definición del límite de una función
    Dado que en estos días el concepto de límite se considera generalmente como el punto de partida para el cálculo, podría pensar que es un poco extraño que hayamos elegido hablar primero de continuidad. Pero históricamente, la definición formal de límite vino después de la definición formal de continuidad. De alguna manera, el concepto de límite fue parte de una unificación de todas las ideas de cálculo que se estudiaron previamente y, posteriormente, se convirtió en la base de todas las ideas en cálculo.
  • 6.4: La derivada: una ocurrencia tardía
    Junto con la integral, la derivada es uno de los objetos matemáticos más poderosos y útiles jamás ideados y hemos estado trabajando muy duro para proporcionarle una base sólida y rigurosa. Por otro lado, ahora que hemos construido toda la maquinaria que necesitamos para de fi nir y explorar el concepto de derivada, parecerá más bien pedestre junto con ideas como la convergencia de series de potencias, series de Fourier y las extrañas propiedades de Q y R.
  • 6.E: Continuidad: lo que no es y lo que es (ejercicios)

Miniatura: Cauchy hacia 1840. (Dominio público).